CHAPITRE III
DIFFÉRENTIELLES, DÉRIVÉES, ET DIFFÉRENCES PAR- TIELLES DES DIVERS ORDRES, DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. DIFFÉRENCES ET DIFFÉRENTIELLES TOTALES.
197. Une fonction de delix variables indépendantes , x et y, peut être diflerentiée successivement par rapport à chacune d'elles partiellement, et l'on peut supposer que ces diûerentiations soient en nombre quelconque et se succèdent d'une manière quelconque. Le nombre de ces diflerentîations constitue V ordre de la différentielle, de la différence ou de la dérivée. Il n'y a rien de nouveau à dire sur leur formation, puisque l'on "n'a à considérer à chaque opération qu'une seule variable indépendante. Les dérivées partielles d'ordre quelconque s'exprimeront au moyen des différentielles correspondantes d'une manière entièrement semblable à celle que nous avons trouvée pour les fonctions d'une seule variable. Elles ont aussi les mêmes rapports avec les différences partielles correspondantes 5 et la reproduction identique des raisonnements déjà faits dans le cas où l'on considère toujours la même variable, conduit immédiatement à ces conséquences. Nous ne croyons cependant pas inutile de donner quelques développements à ce sujet.
Désignons généralement par F"]^"^f... (^9 /) 1® résultat de m dérivations partielles effectuées par rapport à x «urla fonction u = F(a:, j ), suivies de n dérivations par-
tielles du ri^sultat par rapport ky ; lesquelles seront ellesmêmes suivies de p dérivations par rapport à x, et ainsi de suite.
Désignons de même par ^J^"^^.. w le résultat obtenu
en prenant d'abord la différentielle partielle de l'ordre m de u par rapport à x, puis la différentielle partielle de Tordre n par rapport hy de l'expression obtenue, et ainsi
de suite. Et enfin représentons par A""^""^''"' m le résultat
obtenu en prenant d'une manière analogue les différences au lieu des différentielles. Cela posé, on aura d'abord, d'après ce que l'on a vu en traitant les fonctions d'une seule variable, et faisant usage des notations que nous venons d'indiquer,
Considérant maintenante^ comme la seule variable, et prenant la différentielle /i'^'"* des deux membres , on aura, de la même manière ,
prenant maintenant la différentielle partielle d'ordre p par rapport à a:, et continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra
OU
dx"" dy" dxP . . . w^*.- ^''•^^'
Les dérivées partielles s'expriment donc au moyen des
CALCUL DES Di&IviES £T DES DIFF^ENTIELLES , ETC. 205
différentielles partielles correspondantes d'une manière analogue à celle qui se rapporte aux fonctions d'une seule variable.
Il y a encore évidemment le même rapport entre ces dérivées et les différences partielles correspondantes. En effet, on aura d'abord, d'après ce qui a été démontré pour les fonctions d'une seule variable,
w devenant nul en même temps que Ax. Prenons maintenant la différence /i'*'"* des deux membres par rapport kj^ et divisons-la par Aj" ^ il faudra , par les mêmes raisons, prendre la dérivée partielle /***'"* du second membre par rapport à y et y ajouter une quantité qui devienne nulle avec Ay. Si, de plus, on observe que w devenant nul avec Ax, il en est de même de sa dérivée /«'*'"*' par rapport à y^ on en conclura l'égalité suivante :
0)1 devenant nul quand on suppose que Ax et Aj^ le deviennent tous les deux.
Prenant actuellement la différence d'ordre p des deux membres par rapport à x, la divisant par ùkX^ , et continuant ainsi indéfiniment , on obtiendra la formule générale
£ devenant nul quand Ax et A j^ le deviennent lous les deux.
D'où Ton conclut enfin , comme pour les fonctions d'une seule variable,
jn-f-n-f-D • • • m-hn+p • • •
A tt d "^
àjT ^x''àxP . . . *>/.«••• ^ ' -^ ^ dx^ rf/" dxl* . .
et il en serait de même pour un nombre quelconque de variables indépendantes.
Les notations que nous venons d'employer peuvent être simplifiées au moyen d'une proposition fondamentale que nous allons démontrer.
198. De l'ordre dans lequel se succèdent les differentiations, — Si l'on prend les différences successives d'une fonction par rapport aux diverses variables indépendantes qu'elle renferme, on arrivera toujours au même résultat, dans quelque ordre qu'on effectue ces opérations , pourvu qu'on ne change pas le nombre de celles qui doivent être faites respectivement par rapport à chaque variable.
Soient, en effet, x et j- deux des variables dont dépend une fonction u.
Si l'on change d'abord x en x -\- âiX ^ u devient
si dans cette expression on change y en j^ 4- A j^, elle devient
et l'on a ainsi ce que devient u quand x elj sont changés en a: + Aa: , j H- Ay .
Or, en faisant les substitutions en sens inverse, on aura
