IL -4- A^ w -h A,M 4- a' m

el ce résultat doit être identique au précédent puisqu'il exprime toujours la fonction u dans laquelle xcij sont changés en x + Aj:,y -f- A y. Donc on a identiquement

Si maintenant on divise les deux membres par Ax Ay et qu'on passe aux limites, en faisant tendre A a* et Ay vers zéro , on en conclura , par ce qui précède,

et, par conséquent ,

Si l'on prend successivement un nombre quelconque de différences, de différentielles ou de dérivées partielles, il est facile de voir que Tordre dans lequel on les prendra est complètement indifférent. En effet, deux de ces opérations successives pouvant être changées d'ordre, on pourra faire arriver au premier rang celle que l'on voudra , en la faisant avancer successivement d'un rang vers le commencement 5 on amènera ensuite au second rang celle que l'on voudra des autres , et enfin on les placera toutes dans un ordre quelconque , sans que le résultat cesse d'être identiquement le même.

D'après cela , on pourra supposer que toutes les différentiations par rapport à la même variable soient faîtes consécutivement , et les notations précédentes seront simplifiées en ce qu'elles ne renfermeront qu'une seule indication pour chaque variable : et c'est ce que nous ferons dorénavant.

On simplifie encore l'expression des dérivées partielles

en écrivant -; r— au lieu de- — ? parce que les expo-

dx^dy dxi^df ^ ^ ^

sants de dx et de dy suffisent pour indiquer le nombre des différentiatîons effectuées par rapport à chacune des variables x et j^.

Mais si , pour avoir la différentielle partielle correspondante, on faisait la multiplication par dx^ dy"" en supprimant le dénominateur, on obtiendrait d"*'^"u , expression qui ne renfermerait plus aucune trace des dîfférenliations effectuées. On est donc obligé, pour que la notation ait un sens déterminé , de conserver le dénominateur, et d'écrire ainsi cette différentielle,

-—djc"'dr".

dx'" df'^

Elle serait représentée beaucoup plus simplement par la

notation déjà employée , d"^^'^ u.

Le système de notation de Lagrange s'applique aux fonctions de plusieurs variables 5 mais nous n'en parlerons pas 5 vu que les géomètres n'en font pas usage. La notation de Leibnitz a prévalu, parce qu elle a surtout le grand avantage de mettre en évidence les différences infiniment petites, dont la considération est si utile dans toutes les recherches qui dépendent des mathématiques.

Différentielles totales des fonctions de ^variables

indépendantes.