Soit

X elj étant indépendantes ; nous avons vu précédemment que l'on avait

du du

au =1 —- A a; H — — A r + w , dx dy

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DlFFÉRllf TIELLES , ETC. 269

fj> étant infiniment petit par rapport à Ax, Aj*, A m, quand A a: et Aj tendent vers zéro.

La somme des deux premiers termes jouit donc, par rapport à Faccroissemeut total A u , de cette propriété remarquable, d'être égale à la différence elle-même, à une quantité près infiniment petite par rapport à cette différence. D'après cela , Taualogie nous conduit à donner le nom de diflerentielle totale de ii à l'expression suivante :

du , du , .

dx et dy étant des quantités indéterminées et indépendantes que nous nommerons les différentielles àexely. Elle jouit de la propriété que, lorsque dx et dy seront considérés comme les accroissements infiniment petits donnés k x et j^, elle pourra être prise pour l'accroissement total de u en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement.

Nous désignerons cette différentielle totale par du , et il faudra bien la distinguer des rfz/ partiels qui se trouvent dans le second membre et sont différents l'un de l'autre. Pour éviter toute confusion , on devra se garder de supprimer les facteurs communs dx et dy^ et écrire

du du

On peut encore écrire

du =1 djgU -}- dyU,

Ces considérations s'appliquent à un nombre quelconque de variables indépendantes, et la différentielle totale dune fonction de plusieurs variables indépendantes sera toujours la somme de ses différentielles partielles relatives à chacune de ces variables.

Cherchons maintenant Texpression des différentielles successives de i/. Et pour cela remarquons d'abord que la

différentielle de ^ — sera, par la règle qui vient d'être

démontrée ,

elle se formerait donc en multipliant par — dx H dy

d"'^P u l'expression proposée ■ ^ ? pourvu qu'on y considérât

l'indice du numérateur comme un exposant, et qu'après la multiplication on changeât l'exposant des numérateurs en indices de différentialion. D'après cela , si Ton part de la formule (i), la différentielle du second membre s'obtiendra en la multipliant par ~r ^^ '^~r: ^> ^* faisant

le changement des exposants en indices. Il en sera de même pour la différentielle de ce résultat 5 et, par conséquent, en désignant par d'^u la différentielle totale de l'ordre m de m , on aura la formule symbolique

fdii , du , \" d'"u=: -— dx-\- -— dy \ \dx dy -" )

en entendant toujours que les exposants des du dans le second membre seront «changés en indices de différentiations.

Comparons maintenant cl"" u à la différence totale A"* u.

Reprenons pour cela la formule

du du

dans laquelle nous supposons Ax et Ajr infiniment petits-, et donnons k x et y les mêmes accroissements

Ao:, Ar. L'accroissement de -— calculé semblablement

^ dx

s'obtiendrait en multipliant — par — Aj:-h — Ay, et ajoutant une quantité infiniment petite par rapport à A x et ^y \ il en serait de même pour T accroissement de — •

De sorte que 1 accroissement de — A j:-t- — Ay sera représenté symboliquement par le carré de cette expression , dans lequel on changera les exposants de du en indices, plus une quantité infiniment petite par rapport aux quantités Ax*, AjtAj^, ^y^' Or nous savons que o) se compose de termes qui ont en facteurs, les uns A or, les autres Aj^ , et en outre d'autres facteurs qui deviennent nuls avec Ax et A j' ainsi que leurs dérivées; d'où il suit que l'accroissement de co sera infiniment petit par rapport aux mêmes quantités Ax*, Aj: Ay, Aj^'. On a donc la formule symbolique

(du du y

o)' étant infiniment petit par rapport aux quantités Aa*^ Ax Ay, Aj*. En continuant ainsi on parviendrait, sans difficulté, quelque fût le nombre des variables , à la formule symbolique générale

/du du Y

0) étant infiniment petit par rapport au produit de m facteurs A j: ou Aj,

On a donc aussi cette autre proposition générale : La différentielle totale de l'ordre m d'une Jonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes dans laquelle on prend dx ^ d/y ^ etc. y égaux aux accrois-

senienis infiniment petits de ces variables , ne diffère de la différence m'^'"' correspondante , que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même.

Rem AKQUE GÉNÉRALE. — Lorsquc l'on cherchera Une équation entre les différentielles d'ordre quelconque de fonctions quelconques, et que, pour y parvenir, il sera avantageux de considérer d'abord des différences infiniment petites, on pourra substituée les différentielles aux différences correspondantes, et négliger toute quantité infiniment petite par rapport à celles entre lesquelles on cherche la relation. Car si l'on divisait l'équation exacte par une des différences, élevée à une puissance convenable, et qu'on passât à la limite, les rapports des différences seraient remplacés par ceux des différentielles, et l'on aurait Téquation même à laquelle on serait parvenu en négligeant des quantités nécessaires pour l'exactitude de l'équation entre les différences, mais qui disparaissent de l'équation exacte entre les différentielles , considérées comme des quantités infiniment petites ou finies.

Différentielles totales des dix^ers ordres des fonctions de plusieurs ^variables dépendantes.

200. Si les variables xel y^ qui entrent dans la fonction M, étaient elles-mêmes des fonctions de variables indépendantes, les différentielles totales de u changeraient toutes de forme , excepté celle du premier ordre , parce que les facteurs dx ^ dj ne seraient plus constants.

Ainsi la différentielle première de u aurait toujours

pour expression

du , du .

du=z -r dx-^—T-dy.

dx dy

Mais, en différentiant cette expression, il s'introduirait

CALCUL DBS l>ÉRIVÉKS ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 1']3

les termes

dx dy

et l'on formeraît d^x^ d^y en fonction des variables indépendantes 6t de leurs difTërentielles d'après les formules précédentes. On aurait ainsi

d^ u à}u iPu du du

et /i* M jouira, par rapport à A* m, de la propriété qui a été démontrée indépendamment de la forme qui pourrait résulter de variables intermédiaires entre u et les variables indépendantes.

On trouverait de même les différentielles totales des ordres suivants, et pour un nombre quelconque de variables, supposées dépendantes d'autres quelconques. Si parmi ces variables, les unes étaient dépendantes et les autres indépendantes, il suffirait de supposer nulles les différentielles de ces dernières qui passeraient le premier ordre.

Cas particulier oii x et y sont des fonctions linéaires, — Si j: et j^ étaient des fonctions linéaires des variables indépendantes, dx et dy seraient constants, quelles que fussent les valeurs des variables; on aurait donc

€Px=:0, d}y:=zO^ ^JC = 0,...,

et, par conséquent, on retrouverait la formule symbolique

^ du du

ydx dy

i au , au ^ \" <lru=2 [-r-€lx-\- — dy j

qui s'étendrait à un nombre quelconque de variables.

Différentielles des dis^ers ordres des fonctions implicites.