Supposons d'abord la fonction implicite u dépen- I

dante des variables x et y^ et déterminée par une équation unique

nous aurons d'abord

dY ^ f/F^ dY , dx dr du

d'où Ton tirerait du , comme nous l'avons déjà vu.

Dîfférentîant encore cette équation par rapport à toutes les variables, et observant que du n'est pas constant, il vient

H- 2 ■ , dxdu + 2 — — - rfr"« 4- -r- ^'« = o ; dxdu dydu- ' «w

d'où l'on tirerait d^u^ et ainsi de suite. On agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables indépendantes. Si u ne dépendait que d'une variable x ^ cette équation se réduirait à

rf'F , , ^F ^ ^ ^^F ^ , d¥ ^

—— dx' -f- 2 -,— r "J^«" H — TT "" H — — rf' f/ = o .

rtx' aa:aw ««' du

202. Si l'on avait deux équations, il y aurait deux variables, fonctions de toutes les autres^ et, dans ce cas, on différenlierait successivement chacune des équations , en distinguant bien les variables dépendantes des indépendantes : on déterminerait ainsi les différentielles secondes^ troisièmes, etc., des deux fonctions^ et Ton agirait de la même manière dans le cas d'un nombre quelconque d'équations.

Soient , par exemple , les deux équations

j et M sont des fonctions de la variable indépendante x. On aura d'abord les deux équations

ûfF , rfF , r/F ,

dx +- --- rf/4- —— du = o, flx ,dj . da

-^dx-^-fily-^ -f-rfa=o; dx djr du

d'où l'on tirera dy et du. En difTérentiant ces deux équations, on obtiendra

^F^ d'¥ ^ ^ d'Y ^ ^ (PY ^ ^ d'¥ ^ ^

d'Y dY dY

-h 2 -y-y dfdu -+■]—- d^jr -^ --— d' u=: o , dydu ' dy du

-f^ dx^ -h -y^dy^ -{- -j^^ du'-^2~-^dxdr'{'^-j-y'dxdu

d'à: dy' du' dxdy dxdu

d^f df df

-h2 — -;;- dyda-^y- d'y-h y- cPii = o, dydu dy du

d'où l'on tirerait d* u et d*y^ puisque dj et du sont connus. On obtiendrait ainsi les différentielles de tous les ordres de j^ et //.