CHANGEMENT DE VARIABLES

203. Cas d'une seule variable indépendante, — Nous considérerons d'abord les fonctions d'une seule variable indépendante j et l'objet que nous allons nous proposer est d'exprimer toutes les dérivées d'une fonction y par rapport à une variable x dont elle dépend , au moyen des dérivées successives d'une autre fonction u par rapport à une variable f, regardée comme indépendante.

Toutes les quantités dépendent d'une seule variable : ainsi l'on a trois équations entre x, j^, m, f 5 ou deux seulement, en laissant de côté celle qui exprimera la relation entre x et j. On voit- qu'en vertu de ces trois équations, on peut considérer u comme une fonction de f , et ce sont les dérivées de u par rapport à t que Ton .veut faire entrer dans des calculs où se trouvent les dérivées de y par rapport à x.

Pour cela nous allons d'abord exprimer les dérivées de j par rapport à x, en fonction des dérivées de j: et y par rapport à la même variable indépendante t dont elles seraient regardées comme fonctions. Ces formules seront les mêmes, quelle que soit la forme particulière, tant de r équation entre x et y, que de celle qui doit lier x et j avec t. Nous montrerons ensuite comment les dérivées de .r et j^ par rapport à t peuvent s'exprimer au moyen de celles que Von veut introduire, qui sont celles de u par rapport à t. Ce dernier calcul dépend des équations qui lient x et j avec t et w, et peut-être encore avec

d'autres variables; elle nombre des équations doit toujours être tel, quil n'y ait qu'une seule variable indépendante, comme nous l'avons supposé.

204. Pour exprimer les dérivées de / par rapport à x au moyen de celles de a: et j^ par rapport à f, nous observerons que , d'après le principe des fonctions de fonctions, on a

dr dy dt tx'^Ti'dx' ««'P"'«^l^^^

dt I dx dx

dt

dy dt dx dx

dt

Passons maintenant à Texpressiou de y-r/ Nous dilFéren-

tierons pour cela les deux membres de cette équation par rapport à x; mais, afin de n'introduire dans le second membre que des dérivées par rapport à t , nous le différentieroiis d'abord par rapport à £, puis nous multiplierons par — » o^ nous diviserons par — • Nous obtiendrons ainsi

d^jr dx d*x dy d'y ^~d? dt ~ 'dï' dt

d^Y De même, pour obtenir -—^ nous ditlérentierons le second membre par rapport à t^ puis nous diviserons par — •

Et en continuant ainsi, il est clair que Ton aura l'expression de toutes les dérivées de y par rapport à a: , au

moyen de celles de x ety par rapport à une variable quelconque <, dont Jjelj^ seraient dépendants.

On peut , au lieu des dérivées de x et y par rapport à /, introduire leurs différentielles; il suffira de supprimer le diviseur df^ et il viendra

Ces premières formules se rapportent au changement de la "variable indépendante seulement.

Si l'on suppose que la variable t soit la fonction j , elle-même, on aura les dérivées de y par rapport à x, exprimées au moyen de celles de x par rapport à j^, quelle que soit d'ailleurs la relation entre x et y. Ces formules seront

dy 1 rf' j dy"^

dx dx dx'^ fdx\^

205. Considérons maintenant le cas général où Ton aurait entre m variables x, j^, . . . , w , ï , les m — 2 équations

F(x,j^,. ., «,r) = o, f{x,y,.. .,tf, t) = o,

sans compter F équation qui donne y en fonction de x. Si l'on différentie ces m — 2 équations par rapport à f, on

dx dy (, . ^ du , ,

pourra exprimer -r-9 — en fonction de — ? par la resolution d'équations du premier degré.

Différentiant de nouveau ces équations, on introduira les dérivées secondes par rapport à f, et il y restera des dérivées premières que l'on pourra remplacer par leurs valeurs tirées des premières équations. On pourra donc

CALCUL DES DKR^iBS ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 279

encore, par la résolution d'équations du premier degré,

, , ^ (Px d}y , ePu du

tirer les valeurs de -7—» -tt au moyen de -7-- et -7— cit^ dt^ •' do dt

En continuant ainsi , toutes les dérivées de j: et de j-

par rapport à t seront exprimées au moyen de celles de u

par rapport à t\ et comme nous avons donné les formules

générales qui expriment — ? -7— ^ï etc. , au moyen de

(Ix d^x dy d^r «i ? • n *

-r-> -r-j etc., -r-» -TTJ clc. , 11 S cnsuiC que 1 on connaidt di* dt dt* ^

dr d'y . du d^u , , .1,1

tra~ï ~J~V"' ^^ moyen de— 5 -77 v> ce qui était 1 objet de la question.

Si, au lieu d'équations Giiies, on avait des équations difFérentielles, il faudrait toujours chercher a en dé-

, . dx fPx df (Pr , du

duire -j-t —r-f etc., -—9 -~r» etc., au moyen de -7-» dt dO dt dt^ ' ^ dt

(Pu ,, . . . , ,

—1 etc., et 1 on agirait ensuite comme dans le cas précédent.

Supposons, par exemple, Téquation

(sy- (!)■=■.

el proposons -nous d exprimer — » -— > etc., au moyen de

-7-î -—7 etc. La question se réduit ici à exprimer

dr d'y , dx d^x

rfT' rf,T' «t^- ^^ ™«y«n de -, —, eu-.

Or on aura d'abord

dy / ^ Wr - V ' ^^' '

Pour avoir —^5 on difféicnliera l'cquation donnée, et il dt^ *

28o viendra

d'où

ir.

dx d^x dy dt dt' "^ dt

d\r dt^

dx d}x

d^y dO

dt dt' dy dt

dx d^x 7ït~dF

Une nouvelle difTérenliatîon ferait connaître —, et ainsi

de suite.

Ce cas est celui où Ton déterminera une courbe par une équation entre l'arc et l'abscisse.

206. Cas de plusieurs variables infiépendaiites. — Considérons maintenant une fonction z de deux variables indépendantes a?, /. Sa forme n'est pas connue, et Ton ne doit pas avoir besoin d'en faire usage; mais on doit toujours raisonner dans l'hypothèse qu'elle existe.

La question que nous nous proposons est de détermiDer les dérivées partielles de tous les ordres , de z par rapport à a: et y^ au moyen de celles d'une autre fonction r par rapport à deux autres variables indépendantes y et 6, en supposant qu'il existe trois écjuations entre .r, y, z, r, 9, 9, savoir

(l) I ^(•^'•^' ^'^' '?''') =^» F|(-^,r,«,Ô» ?>'•) = Or

de sorte que quatre quelconques de ces six variables peuvent être regardées comme fonctions des deux autres qui seront entièrement arbitraires.

Cela posé , différentions successivement r par rapport à chacune des variables x et y, la seconde étant supposée constante; et considérons /• comme dépendant de 6 et ç,

CALCUL DES DERIVEES ET DBS DIFFEEENTIELLES , ETC. 28 1

qui eux-mêmes dépendent de x et j^. Nous aurons ainsi

dr drd^ drdo dr drd9 drd^ '^^ dx^dldx'^d^dx' Tfy'^dldx'^ d^d^'

Il faut maintenant éliminer de ces équations les déri-

, d^ dfû dr dB dta dr , ^,t^,

vees-r-^ -r-' -;-» -;-» -r-» -7-» et pour cela nous dilledx dx dx dy elf dy *

rentierons d'abord les équations (i) par rapporta X5

d'où

' ^ çTô dY d^ d¥^dr^ dF fl^dz dO dx d(f dx dr dx dx dz dx '

dY^dQ dF\d(f d?,dr r/F, dF^dz^^ d 9 dx d(f dx dr dx dx dz dx *

dF.dB d F, rfy dF^dr dF^ dF.dz dO dx d(f dx dr dx dx dz dx

j, , . d9 do dr f • y dz

d ou nous tirerons -7- > -rt -7- ? en tonction de -p- : et dx dx dx dx

les reportant dans la première équation ( 2) nous en tire-

,j. dz „ . ^ dr dr

rons immédiatement -;- en fonction de -— » -y dx dQ d<f

Différent! au t de même les équations (i) par rapport h y

efc faisant usage de la seconde équation {2) , on obliendra

dz ^ dr dr . ». . n 1 • lî j ^

— . au moyen de — ? — ; ce qui était 1 objet que 1 on s e-

tait proposé .

On conclurait facilement de là -7-9 -7- au moyen de

dB d<f *'

— ) —5 par la résolution de deux équations du premier

degré ^ mais on pourrait d'ailleurs les obtenir directement en suivant une marche inverse.

On passera aux dérivées partielles du second ordre en

j./v, . dr dr

dinerentiant — > -7- par rapport a x et y : on sera ramène

282 LIVAE II.

à diffère 11 lier — » — par rapport à x ely , et on les traitera comnie on a traité /*, ce qui introduira les dérivées du second ordre de r par rapport à 0 et y.

^ , j.^^, . d^ dib dQ do

On aura en oulre a diiterentier -7-9 -7^9 -r? --•? ce

dx dx dy dy

qui introduira les dérivées partielles du second ordre de z par rapport à x et y, dont on aura ainsi les valeurs.

Il est facile de voir que cette méthode s'applique à un nombre quelconque de variables indépendantes , et s'étend aux dérivées de toutes les autres.

207. Nous examinerons, en particulier, le cas d'une fonction u de trois variables indépendantes j:, j", 5, qui doivent être remplacées par trois autres variables indépendantes r, (f , 0, liées à j: , y, z par trois équations connues^ dans ce cas , il s'agira d'exprimer toujours les dérivées partielles de // par rapport kx ^y^ z, au moyen de ses dérivées partielles par rapport à r, (p, 0. Ce problème renferme celui de la transformation des coordonnées dans des équations aux différentielles partielles où la variable principale est une fonction de trois coordonnées.

Considérons u comme fonction de 0,9, r, et ces dernières comme fonction de j:, j^, z\ et différeniions u partiellement par rapport à x,/, z, nous aurons

Or, au moyen des trois équations entre x, r, r, 0, (p, /•,

du dx'

du dQ du dfû du dr — __.__ | 1 ^

dO dx dtf dx dr dx

du

du dB du d^ du dr " d9 dy d^ dy dr dy

du

dz ''

du dO du d<f du dr ~^ dQdz d9 dz dr dz

CALCUL DES DiRIYÉES ET DES DIFFÉAEITTIELLBS , ETC. 283

on peut déterminer les dérivées partielles

dS

rfô

rfç

dr

dr

dr

,te'

dP'

rû'

di'

dz'

di'

dr'

et, par conséquent, les équations (3) donnent les valeurs

des dérivées partielles de la fonction u par rapport à

x,j^, z, au moyen de celles de la même fonction par

rapport à 0 , (f^r.

La résolution de ces trois équations ferait connaître

du du du , du du du

— » — ? — au moyen de — » — 9 — -, mais on pourrait

les trouver directement par une marche inverse de la précédente.

En différentiant les équations { 3 ) successivement par rapport à jr , y, -2 , on exprimerait les dérivées du second ordre par rapport aux variables indépendantes d'un des systèmes, au moyen des dérivées du second ordre par rapport aux variables de l'autre; et l'on continuerait ainsi indéfiniment.

Ainsi, par exemple, en différentiant — par rapport

à j:, on serait ramené à former les dérivées partielles de

du du du > , 1-, o >

-—) — î — par rapport a .r, et c est ce que Ion ferait

du du du • jî 1. 1

en traitant -—9 -r-^ -7-1 comme on avaitd abord traite w, d9 d(f dr

ce qui introduirait les dérivées du second ordre de u par

rapport à 0, ©, r, tout le reste étant connu.

208. Appliquons ce procédé à une transformation qui se présente souvent dans les questions de mécanique et de physique mathématique.

Soient x,j, z les coordonnées rectangles d'un point, et 7', 0, v|/ ses coordonnées polaires, de sorte qu'on ait

entre ces six variables les trois équations

z = r cos 6 , / ;= r sin 9 sin ij^ , jr r= r sin 0 cos ^ ,

on trouvera, au moyen de la méthode que nous venons d'exposer,

du du , ^ , du cos9cos\l du ûu-^ - = — sinôcos+ -f-—

dx dr ^ d9 r d^ r sïnB

du du . ^ . . fif// cos 9 sin >l du cos 4/

— = — sin9sin^;-h — --^tI " ^'

dy dr ^ dB r d-^ rsinB

du du ^ du sin 9

— =-j-cos9 — — ,

dz dr dB r

d'^u d'^u . ^^ . , . ^/'«cos'9sin\I> cos>t' d^usxn^ cos^ = sin'9 sin\L cosw -\ : —.

d^u sin9cos9 sin^pcos^|^ d^u /cos'^p — sin'^];

/cos'^p — sin'^];\

dBdr r d^dr

d^u (cos'\|/ — sin'^p) cos 9 du sin' 9 sin\[; cos\J»

d-^^dB r'sin9 dr r

du cos9 sin\pcosT|^ /« ^ir^û i * \ j ^" /'sin'ij^ — cos'^/ dB r^ --■ - -^

/ . ^ I \ du /sin'ib — cosN

dUi d^ u ^ ^ , ^' f^ sin9 cos9cos4^

-- — - = -7— - srn 9 cos9 cosiS — -— ;

dxdz dr^ ' dB^ /•'

d^u (cos'9 — sin'9)cos^ d^u sin ^|/ cos 9 dBdr r . d-^dr r%\nB

d^u sin\|; '^ dBd^ r'

du (sin' 9 — cos' 9 ) cos -j/ du sin 9 cos 9 cos ^ '^ dB /' dr r

d^ u dUc . ^ ^ . , rf'« sin9 cos9 sin\|/

dydz dr"^ ' r/9' /'

d^u (cos' 9 — sin'9)sin\p ^ rf'« cosa|;cos9 r/9rfr r ' d^dr rsin9

du (sin' 9 — cos' 9) sin ip </« sin 9 cos 9 sin ^

CALCUL DES DÉaiVÉES BT DRS DIFFERENTIELLES, ETC. 285

d^ii d^u . ^^ ,, rf'acos'OcosH d^ u sinH

d^u sinOcosO cos'^ d^ u sin^pcos^p

dQdr r ^^dr r

d ' « sin 4» co > ^p ^« cos' © cos' -^ H- sin' \^

é/9rf\p r'tangQ rfr r

/sin'\|i — 2 sin' 9 cos*i(*\ \ résine /

r/a ^ /sin'\Ii — 2 sin' 9 cos'i|*\ e/a sin>L cos 4»

+ rfô'^"*' \ P^iïë ) ^ " rf+ TTilHîT'

rf»« d^u . .^ . .. rf'tt cos'9sin'J> ^'a cos'4>

«f'tf sin 0 cos 9 sin' \L ^/'m sin-tLcos^l/

^ dBdr r d^dr r

d^u sîn\pcos4»

dBd-^ r'tang9

du / cos' 9 sin' 4» H- cos' >]/ \

du / cos' 4* — 2 sin' 9 sin' 4* \ rf« sin 4* cos4'

^^Tb'^'^^K 'i^^^B l^'^d^ r'sin'9 '

d^u^d^u ^ i/'asin'9 r/'w $in9cos9 ^ ^j'^il?

du sin 9 cos 9

286 LIVRE ÏI.