Détermination des valeurs particulières desfonc

lions qui se présentent sous les formes -5 ^9 00 x o

1°^ , 00 °,o°. — Lorsqu'une fonction est le quotient de deux autres fonctions de a: , et qu'une valeur particulière de x rend ces deux dernières nulles ou infinies, la valeur de

la première se présente sous la forme - ou ^9 et, dans ce

cas , on peut se proposer de déterminer la valeur vers laquelle converge la fraction donnée, lorsque x tend vers cette valeur particulière \ c'est cette valeur limite que l'on désigne souvent sous le nom de vraie valeur de la fraction qui se présente sous la forme indéterminée - ou ^•

¥ (x) . Cherchons d'abord la limite de •—— / lorsque x tend

vers une valeur Xq telle que l'on ait

F(xo)=o, /(Xo) = 0.

Soit h une quantité tendant vers zéro , on aura , d'après len«45,

donc

lorsque x tend vers Xq\ et, par conséquent, si ¥' (x^) (tif (jTo) nesont pas nuls ni infinis, la limite cherchée

Si l'on avait encore

la limite de -zT^—v serait la même que celle de —tVK ? et

ainsi de suite

Si donc toutes les dérivées jusqu'à l'ordre n exclusivement deviennent nulles pour o; = Xq, la limite cherchée

F" ix) sera celle de y;^-[\ et si F" [x^] et /" [x^) ne sont ni

nulles ni infinies, on aura, pour valeur de cette limite,

F"(:ro)

Si l'une de ces dernières dérivées est encore nulle, la limite sera o si c'est F" (x^) qui est nulle, et la fonction croîtra sans limite si c'est/*" (-^o)-