Supposons maintenant d'où

FK)-''

on aura identiquement

+ ^hf

+ (ihy

d ou , en représentant ~ -p^ par 9 («) ,

F (x) Or, si 77— T» ou y (A), a une limite finie, 9 (Oh) aura la

même limite, et , , J tendra vers l'unité: on aura

donc

bi, au contraire, 1 expression jj^ tend vers o ou oc ,

elle finira , eu général , par varier constamment dans le même sens , à mesure que x tendra vers x© \ et le facteur

,,} sera , dans le premier cas, plus petit, et, dans le

F' {x\ second, plus grand que l'unité. Donc -pT-T—Mevientnulou

infini en même temps que -71^^ et par conséquent, dans

tous les cas , la recherche de la vraie valeur de tt-t se ra-

mène à celle de

Si donc F' (jTo) et/' (.Tq) ne sont ni nuls ni infinis , la limite cherchée sera

Si les dérivées de F (j:) , f{oc) devenaient infinies jusqu'à un certain ordre, on agirait comme dans le cas précédent. Mais si elles deviennent toutes infinies, cette méthode ne sera plus applicable ; et ce qu'il y a souvent de

CALCUL DtS DÉRIVÉES ET DtS DlFFÉREhTlELLES, ETC. 289

mieux h faire dans ce cas, c*esl de remplacer x par Xo+A et d'effectuer les réductions.

Ainsi soit, par exemple, la fraction

SCS deux termes deviennent nuls pour a: = Xo, et toutes les dérivées deviennent infinies. MaissiTon po&e jr=.ro-f-A, elle devient

supprimant le facteur commun h* ^ il reste

dont la limite est zéro quand h tend vers zéro.

2H. La valeur j:*o étant arbitraire peut être supposée aussi grande que l'on voudra, et, par ctmséquent, les régies précédentes s'appliquent au cas où l'on a :Co = oo . Mais la démonstration directe ne pourrait plus se faire de la même manière dans ce cas, et il est bon de l'examiner à part.

Si l'on pose jr = -? on aura

y tendant vers zéro, il n'y aura aucune diffieullé, et l'on aura, parla démonstration précédente,

-}^. ^ lim. —^^ = lini. —Y4-

290 LIVBE II.

On aura donc aussi

X croissant iudéiinîment.