Considérons maintenant une expression de la forme

F (x)/:*); son logarithme est

/(x)logF(jr),

et rentre dans une expression que nous avons examinée. Sî donc on peut déterminer par les règles précédentes la vraie valeur de ce logarithme, dans le cas singulier où les fonctions logF [x] elf[x) seraient Tune infinie et l'autre nulle, on en conclura immédiatement celle de Texpression proposée.

Examinons en particulier l'expression

dans le cas de ar = oo , et supposant F (oo ) r= oo . Le logarithme de cette expression est

logF(x)

F' ix) et sa limite est celle de ^) \^ que Ton peut traiter pat* les

règles précédentes.

Mais si Ton applique à ^— la règle particulière

du n*^212, on trouvera que sa limite est la même que

celle de

logF(x + i)-logF(x), ou l"g^F(^'^-

Donc la limite de F (x)' est la même que celle de

^ ■ quand x devient infini. Celle règle avait encore

été démontrée par M. Cauchy.

Si Ton a F (oo ) = o, on posera

Mais (p ( 00 ) = oc , donc

lim.a)(.r)^=:lim. ?lfJ±Li) et

lim.F(.r;'=:Hm. -J^ = lim . L(^) .

215. L'application de ces diverses règles conduit à quelques résultats particuliers qui méritent d'être remarqués :

QO pour x = X si l'on a « ^ i .

logx

=ro pour jr=:oo ,

X logx =r o pour .r = o ,

a:e^ = oo pour J7 = o ,

x^ = 1 pour jc == oc ,

(Aji'"-hBA'"-'H-. . .-+-U)'=i pour 07=; 00, .r'rrr i pour .r = o ,

[cosntxf = I |)our j:=o, r

( I -f- .r )' == e pour x=: o.

CALCUL DES UËRIVÉES ET DBS DlFFÉllENTlELLES , ETC. 2C)3

Série de Tajlor pour les fonctions tl'unc seule variable,

216. La série que nous allons faire connaître a pour objet de développer une fonction quelconque de la somme x-\-h suivant les puissances entières et positives de l'une (les parties, par exemple de A; elle a été découverte par Taylor, et a conservé le nom de son inventeur. Maclaurin en a déduit une autre qui donne le développement d'une fonction suivant les puissances de la variable, et qui a été employée avant lui par Slirling. Il suilit, en effet, de faire x= o dans la première pour obtenir le développement d'une fonction de la variable h suivant les puissances de II, Cette série de Maclaurin n'est donc qu'un cas particulier de celle de Taylor, et c'est pour cela qu'on la désigne ordinairement sous le même nom.

Soit F (wC-h/i) la fonction qu'il s'agit de développer suivant les puissances entières et positives de h.

Commençons par écrire un nombre quelconque n des termes déduits suivant la même loi que si la fonction était entière et rationnelle, et désignons par y (A) la fonction de x et de h , qui , ajoutée à ces termes , reproduit F (.r-f-Zi) : nous aurons

Les dérivées des deux membres par rapport à h étant nécessairement identiques, on reconnaît sans peine que J [h) et SCS (/i — i) premières dérivées deviennent nulles pour ft = o , et que

Donc, d'après une formule démontrée précédemment , on

aura

et, par suite,

Cette formule donne la solution de la question , et montre dans quel cas elle est possible. En effet, si l'expression

¥"Cx-hQh)

tend vers zéro à mesure que n augmente, F {x-h/t) est la limite de là série

et Ton peut poser la formule suivante, qui est celle de Taylor :

Mais il faut bien faire attention que , d'après la formule sur

laquelle est fondée cette série, elle ne peut être substituée

à F [x-hh) que lorsque F [x) et toutes ses dérivées sont

h" continues entre x et x -h h. et que F" {x-]-6 h)

tend vers zéro quand n croît indéfiniment.

La fonction F (x-hh) ne peut être développée suivant les puissances de h autrement que par la formule (2) -, car deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances

entières et positives d'une même variable, et dont les sommes sont égales , quelle que soit la valeur de cette variable, sont les mêmes, terme pour terme.

217. Il est facile de reconnaître que le lerme — ^F-(x + 9A),

qui donne la valeur exacte du reste de la série , après les

n premiers termes, tend vers zéro toutes les fois que

F" (j:) reste fini, lorsque n augmente indéfiniment : et

pour cela il sufiit de faire voir que tend vers

zéro quel que soit h. En elfct, quand n aura dépassé la valeur de //, et qu'on l'augmentera indéfiniment, l'expression sera multipliée par les fractions

• 9 qui diminuent de plus en plus. Mais quaud

même elles resteraient égales à la première, qui est plus petite que l'unité, on sait que le produit aurait pour li-

mile zéro. Donc il en est de même de -= quand /*

croîtra indéfiniment^ et la série de Taylor peut être employée lorsque F (x) et toutes ses dérivées sont continues et finies entre x et x-\-h.

Limites île r erreur. — La formule (i) a l'avantage

! de donner des limites de l'erreur commise en s'arrê-

lant à un lerme quelconque de la série de Taylor. En

effet, si l'on prend les n premiers termes, la quanlilé

exacte qu il faudrait y ajouter pour obtenir ¥[x-\-h) est

F" (j: -1-6 A). Si donc on désigne par A et B la

plus petite et la plus grande valeur que prend F" (a:), quand x passe par toutes les valeurs, de x à x-i-fi, J'er-

2Cj6 LIVRE H.

rear commise en prenant les n premiers termes delà série

A h" . B /i" sera plus grande que ^ et plus petite que