La formule

F''(ar-hô/i)

n'exige aucune condition relative aux dérivées d'un ordre supérieur au n*'"". Ces dernières pourraient être discontinues dans Fi ntervalle de x à x-4-A, sans que la formule cessât d'être -exacte. Ainsi ce développement peut être exact quand on l'arrête à un certain terme, et devenir inexact si Ton voulait le pousser au delà. Supposons, par exemple, que l'on ait

F {.x)=/{x) -x-[x—x,) ^if (x) ,

m étant un nombre entier positif, et- compris entre o

et I. Si l'on considère pour x la valeur particulière Xq^ les dérivées seront finies jusqu'à F"* (.ro) inclusivement, en supposant que celles de f[x) et ^ (x) le soient; mais au delà elles deviendront infinies. Le développement ne devra donc être poussé que jusqu'au terme

flin — t

F'"""* (Xo) tout au plus; et il pourra être

complété au moyen d'un terme renfermant la dérivée suivante.

219. Dév^eloppement de Y [x). — S^, dans la formule (i) , on fait.r=o, et qu'on remplace ensuite la

CALCDL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFiSrENTIBLI.ES, ETC. 397

lettre /* par la lettre x, on obtient

On peut ainsi développer une fonction de x suivant les puissances de x, pourvu que celle fonction et ses dérivées jusqu'à Tordre n soient continues entre o et jr. Si, à mesure

/in

({ue n augmente indéfiniment, l'expression F" (9x)

tend vers zéro, la fonction F (x) pourra être exprimée par la formule

c'est-à-dire que la limite de la somme des termes du second membre est F (x). Cette dernière formule est celle deMaclaurin.

Si on l'avait obtenue avant celle de Taylor, on en déduirait celle-ci en considérant F {x+Ji) comme une fonction de h et la développant par la formule de Maclaurin.

Formule plus générale. — On peut encore développer F (.r) d'après la formule de Taylor, en remplaçant X par Xo-h(x — To) ; on trouve ainsi

et Ton peut toujours choisir Xq de telle sorte que F (xq) , F'(jro), etc., ne soient pas infinies. Mais cela ne suffira pas, et il faudra toujours s'assurer que le reste de la série, dont nous connaissons l'expression, a pour limite o. Autre formule. — Enfin la série de Taylor a conduit

Bernoulli à une autre forme de développement peu employée. Si l'on y suppose h = — x^ elle devient

F(o)=:F(:r)-xF'(.r)H- — F"{x)--p^^F'"(x)-f-.-. .,

d'où

(5)F(^) = F(o)+xF(.:)-^F''(x)--^F'''(.r)-...,

Les coefficients des différentes puissances de x sont eux-mêmes des fonctions de 0:5 de sorte que l'on ne trouve pas dans ce développement le principal avantage que Ton cherche, qui est de remplacer la fonction par un polynôme entier et rationnel. On s'assurerait de son exactitude, comme dans les formules précédemes^

220. Il faut bien se garder de croire que les séries de Taylor et de Maclaurin puissent être employées toutes les fois qu'elles sont convergentes 5 car elles pourraient converger vers d'autres limites que les fonctions qu'elles devraient représenter.

Ainsi, par 'exemple, la fonction e * devient nulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour jr: = o, et cependant elle n'est pas identiquement nulle. 11 suit de là que si F (x) est une fonction développable par la série de Ma-

claurin , F (x) -h e ^ , développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente, msfis qui représentera F (x) , et sera, par conséquent, inexacte.

L'exactitude du développement ne peut jamais être établie que par la considération de l'expression qui en complète la valeur après un nombre quelconque de termes .