TT ^ -7-7- ^'^ + -T

ax^ 2 dxdy dy 2

D faut que cette expression soit constamment négative ,

3l8 LIVRE II.

quels que soient h et A, pour que F (x^y) soit maximum, et constamment positive pour qu'elle soit minimum. Si

on la divise par — ? ce qui n'en change pas le sjgne, on

obtient

et pour que ce trinôme ne change pas de signe, quel que k

soit Tî et ne soit jamais nul, il faut que l'on ait

\dxd}) ^ dy^ * dx" '

^'F d^Y conditioç qui entraine qlie —z-^ et —r-^ soient de même

signe.

Si elle est satisfaite par les valeurs de a: et y tirées des deux équations

dY dY

^d^Y d'^Y la fonction Y (x.y\ sera maximum si —r-z et -7—- sont né^ ^ "^ ' dx^ dy^

gatîfs, et minimum s*ils sont positifs.

Si les trois dérivées du second ordre étaient nulles, il

faudrait que toutes celles du troisième le fussent, et que

le signe d'un polynôme du quatrième degré par rapport

à j fût constant : ce qui conduirait à des conditions plus

compliquées 4 On continuerait semblablement si les déri-* vées du quatrième ordre étaient encore toutes nulles «

229. Ces raisonnements s'étendent facilement à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes^ seulement les conditions se compliquent de plus

CALCUL DES DÉEIVÉKS KT DES DIFFERENTIELLES, ETC. 3lQ

en plus. Dans le cas de trois variables par exemple, on aura les trois équations

ei il faudra que le polynôme

rf*F., rf'F,, r/»F„

dxdy iùcdz dydz

soit constamment de même signe, quels que soient A, A, /. Pour exprimer cette condition , on divisera d'abord par

A* 5 et si Ton pose - = /:?, ^ = y , on aura un polynôme

de la forme

A^^-f- B/>»H- ^Cpq H-2D7 -h2E/? -f-F.

En le considérant relativement à la variable q seulement, il faudra , pour qu'il ne cbange pas de signe , que Ton ait, quel que soit /?,

(C— AB)/?'-^ 2 (CD — AE)/7 -i-D»— AF<o.

On posera sans difficulté la condition pour que ce polynôme soit de même signe quelque soit p^ et l'on y ajoutera, pour qu'il soit négatif,

C— AB<o.

De même que le cas de deux indéterminées /?, q se ramène à une seule , on ramènerait celui de trois à deux, gt ainsi de suite.

230. Cas d'une fonction inipUcite. — Proposons-nou» de trouver le maximum d'une fonction /(x, y^ z) en sup-

posant les variables x^y^ z liées par une équation

en vertu de laquelle z est une fonction implicite des deux variables indépendantes a:, y.

La théorie précédente exige que les dérivées partielles dey ( j:, /, ^) par rapport à x et j^ soient nulles séparément ; ce qui donne

dx dz dx ' dy dz dy '

équations dans lesquelles on mettra pour -7- 1 —leurs valeurs urées des deux suivantes :

(iy dY^dz^ f{F dV dz

dx dz dx ' dy dz dy

On aura ainsi deux équations entre x^y^ z^ qui, jointes à F (j:, y, ^) = o, détermineront x^y^ z. On formera ensuite les dérivées partielles du second ordre àef^x^y^ z) : elles dépendront de celles de z , qui seront déterminées par les règles de la diiïérentiation des fonctions implicites à deux variables.

En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans la fonction , et le nombre des équations qui les lient, il suflSra de reconnaître les variables indépendantes , et d'égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables. Les équations qui en résulteront, jointes aux équations données , seront toujours en même nombre que les variables , et les détermineront. On formera ensuite facilement les dérivées partielles successives de la fonction par rapport âux variables indépendantes , et on les soumettra aux épreuves établies dans la théorie précédente.

On peut donner une autre forme au calcul du maximum ou du minimum d^une fonction de m-\- n variables , liées par n équations , ce qui est le cas le plus général.

Il y a alors m variables indépendantes , et Ton devra égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à cbacuue d'elles -, ce qui revient à dire qu'on égalera à zéro la différentielle totale de cette fonction, quelles que soient les valeurs des différentielles indépendantes. Et, pour cela , on tirera des équation» données les valeurs des différentielles des variables dépendantes en fonction de celles des variables indépendantes; on les substituera dans la différentielle totale de la fonction proposée, puis on égalera à zéro les coefficients de toutes les différentielles qui y seront restées.

Soit^la fonction des m -+- » variables j:, y, z^ m, etc., qui sont liées par les n équations

L = o, M = o, Nrrro,...,

on aura les /i -h i équations suivantes :

^ dx -h -y- (ly -\- -~- dt-{- . , ,— o , dx dy dz

dL ^ dL ^ dh ,

— - fl^jc 4- -^ ^/ H- -7- ^z H- . . . = o ,

dx dy dz

dx dy dz

— - rfx -j- --T- r// -j- -— r/3 -4- . . . == o, dx dy dz

^t Ton doit tirer des n dernières les valeurs des différentielles des n variables dépendantes , les reporter dans la première , et égaler à zéro les coefficients des m différen- I. 21

tielles arbitraires qui y resteront. En cVaulres termes, il faut éliminer n difléren tielles de ces /i -}- i équations , et égaler à zéro les coefficients de celles qui subsisteront dans l'équation finale.

Pour faire cette élimination , on multipliera les n dernières équations par des facteurs indéterminés, 1, fx, v,etc. , on les ajoutera à la première, et Ton égalera à zéro les coefficients des n diffi^ren tielles des variables dépendantes, ce qui déterminera 1, fx, v, etc. , puis on égalera à zéro les coefficients des //i autres variables , ce qui revient évidemment à annuler les coefficients des m 4- /ï différentielles, après l'addition des équations, et à éliminer X, jtx, V, etc., de ses m-h n équations ; ce qui conduira à m équations entre x, y^ Zy etc., qui, jointes aux n équations données , déterminent les valeurs de ces variables qui peuvent donner les maxima et minima de la fonction proposée. On les distinguera ensuite au moyen des secondes dérivées partielles de la fonction, comme nous Pavons fait connaître ci-dessus.

On peut remarquer que le calcul serait le même si l'on s'était proposé de trouver le maximum ou le minimum absolu dey-h XL-j- fA]M + . . ., en ayant égard ensuite aux équations L = o , M = o.

231 . Remarque. — Quelquefois les variables qui entrent dans l'expression dont on cherche le maximum ou le minimum , au lieu d'être liées par des équations, sont assujetties à des inégalités. On ne peut en tenir compte de la même manière que des équations , et Ton agit suivant les cas.

Quelquefois un changement de variables dispense de tenir compte des inégalités ^ nous en citerons un exemple.

Supposons qu'on demande le maximum ou le mi^iimum de la distance d'un point donné B (^g:. 84), aux différents points d'un cercle dont le centre est A et le rayon

R; et que Ton exprime la distance BM au moyen de l'abscisse MP du point M du cercle; on aura, en faisant

BM» = a' -4- R» — 2 a x.

Si Ton ne remarquait pas que x est assujetti à la condition d'être compris entre — R et -f- R, et qu'on appliquât la règle ordinaire, on écrirait 2 a = o -, ce qui ferait penser que le problème est impossible. Une discussion bien simple montre qu'en faisant passer a: de — R à -+- R , le maximum a lieu pour xz=z — R et le minimum pour JCrz-hR. Mais dans d'autres cas ce pourrait être trèsdifficile.

Si Ton posait or = R cosç, (f serait l'angle MAB, et il ny aurait plus aucune condition d'inégalité à exprimer. On aurait alors

BM' = a» -h R» — 2 « R costp,

et la règle ordinaire donnerait sinç = Oj d'où Ton tirerait y = o, y =r: TT, qui donnent le minimum et le maximum de BM,