APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

Tangentes et normales aux courbes planes , Expression générale de la longueur de la tangente y de la soustangente y de la normale et de la sous-normale.

232. Plusieurs desquestionsquenous allons considérer n'auront pour objet que l'application des notations du calcul différentiel à des questions étudiées dans le premier livre , ou l'extension et la généralisation de ces mêmes questions. Nous commencerons par les tangentes et les normales.

Nous avons appelé , en général , tangente à une courbe la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante qui passe par un point constant de cette courbe , et dont uii second point d'intersection se rapproche indéfiniment du premier.

Soit F (jT, j*) == o l'équation d'une courbe quelconque y et x\ y les coordonnées du point de cette courbe, auquel ou veut mener une tangente 5 l'équation de la sécante menée par ce point et par celui dont les coordonnées sont x'-H Ax', ^'-f- A', et qui appartient aussi à la courbe ^ sera, dans un système quelconque d'axes ,

CjlLCUL des dérivées et des DIFPÉBEIITIBLLES , ETC. 3!l5

A mesure que le second point d'intersection se rapproche du premier, — ; tend vers la dérivée de y par rapport à x, correspondante à la valeur particulière x' \ il existe donc une direction limite pour la sécantt;, comme nous l'avons déjà établi; et, d'après les notations convenues, l'équation de cette droite que nous appelons tangente est *

dy' Le coefficient -7-y sera déterminé en fonction de x\ y\

d'après les règles du calcul différeniiel , au moyen de l'c-

rfF

quation F ( j: , j^) = o , qui donne ^ = — -r^-

^' L'équation de la tangente devient ainsi

, ,.dY . ,.dF

On appelle normale la perpendiculaire à la tangente, menée par le point de contact. Si les axes sont rectangulaires, son équation sera

J~/ = -^(ar-y), ou /~j'=:-^,(a;-^),

d^ ou encore

Si les axes des coordonnées font entre eux un angle quelconque 0 , l'équation de la normale aura la forme sui*

3a6 LIVRE II.

vante :

Si les cooixionnées x', j^' n'étaient pas données et que la tangente , ou la normale , fut assujettie à passer par un point donné , ou bien à être parallèle à une droite donnée , on obtiendrait immédiatement, d'après les équations précédentes , une équation entre x\y' . qui , jointe à celle de la courbe, déterminerait ces deux inconnues. Si, au lieu de chercher les solutions réelles de ces deux équations , on construisait les lieux géométriques qu'elles représentent, en y regardant x\ y comme variables , les points d'intersection de ces lieux, dont l'un est la courbe proposée^ seraient les points de contact cherchés,

233. On appelle sous-tangente et sous-normale les parties de l'axe des x comprises respectivement entre le pied de l'ordonnée du point de contact et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale. Elles ont pour expression la valeur de a: — x' relative à j* = o dans les équations respectives de la tangente et delà normale. Elles seront dirigées vers les x positifs ou négatifs , à partir du pied de l'ordonnée , suivant que x — x' sera positif ou négatif.

Nous appellerons longueurs de la tangente et de la normale les parties de ces lignes comprises entre le point de contact et les points où elles coupent respectivement l'axe des x.

Il est facile d'obtenir l'expression de ces différentes lignes. Nous supposerons, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires , et nous représenterons par T la tangente ^ par N la normale , par S^ la sous-tangente , et par S„ la sous-normale. Cela posé, on trouvera facilement les for-

CALCUL DES DÉRlVÉKS ET DES Dl FF ÉREÎ4T1 ELLES , ETC. 32^

mules siiivanlcs :

dx'

EXEMPLES

Ellipse et hyperbole, — Si Ton applique loulcs ces l'ormules à Tellipse et à l'hyperbole, renfermées dans l'équation

on irouvera les résultats suivants :

ou I , équation de la tangente ;

a'ry± b^xx' z=±:u^b^ )

èV( j — y)qpa^ y {x — a?') = o, équation de la normale;

T = ^ s/a^y^^b^x"' , N = ^ v'rt « /' ^^ô^'^

Parabole» — Si l'on considère la parabole ayant pour équation jr* = ^px^ on trouvera

OU 1 , équation de la tangente j

xy=p{x+x') j

y — /' = — — (x — jc'), équation de la normale , P

328 LIVRK II.

Logarithmique. — Considérons maintenant la logarithmique ayant pour équation y=ia\~\aelm sont des lignes données, et les logarithmes sont relatifs à la base de Neper, ce qui ne diminue en rien la généralité de l'équation. On aura , dans ce cas,

dx x^' y — X* z=z — (x — a') , équation de la tangente;

x' y — j' = {x — x') , équation de la normale ;

Si Ton prend la sous-tangente et la sous-normale sur Taxe des j^ au lieu de l'axe des x , elles auront pour expression la valeur de j^ — y relative à j? = o.

On trouvera ainsi

Cycloïde. — Considérons encore la cycloïde^ qui jouit de plusieurs propriétés très-remarquables.

Elle est engendrée, comme nous l'avons vu , par un point de la circonférence d'un cercle qui roule , sans glisser, sur une droite indéfinie à laquelle il est tangent. Elle se compose d'une infinité de branches superposables , ayant chacune pour base une partie de la droite égalera la circonférence du cercle mobile.

Prenons la droite donnée pour axe des x , et l'origine en un quelconque des points où elle est rencontrée par la courbe. Soient B [fig* 85) le point de contact du cercle générateur avec l'axe des x , et l'arc MB égal à AB 5 le

CALCUL DES DiRIVisS ET DES DIFFEEENTIELLES , ETC. 829

point M appartiendra à la cycloïde. Désignons par tù l'angle MOB qui pourra prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à dz 00 5 il est facile d'établir les équations suivantes, dans lesquelles a désigne le rayon du cercle :

X=:a{tiii — siDo>>), jr=:a(l — COSu).

Ces équations ont lieu dans toute Tétendue de la courbe. L'équation entre x et y sera

x^=z a arc ces s^ay — x \

mais il faudra avoir soin de changer alternativement le signe du radical dans les deux moitiés de chacune des branches successives. Différentiant ces équations , on aura

dlr = «(l — C0Sw)^w =^</ft>, 1/7- rr a sinwrfw,

j — ^'=i/ -j-^^—i^x — x')^ équation de la tangente;

y— y' :=i^ I / — — ; (x — a:'), équation de la normale j

MB.

La valeur de S« ou de N prouve que la ligne MB est la normale, et, par suite, que la tangente est MC.

Formules analogues en coordonnées polaires, 234. SoitTéqualion F (0, r) = o entre les coordonnées

33o LIVRE II.

polaires 6 et r d'une courbe à laquelle on veut mener la tangente au point M (fig- 86). Nous avons déjà vu comment on détermine Pangle fx que fait cette tangente avec le rayon vecteur OM 5 le triangle KMN donne

KM sin N KN ^sinKMN'

d'où, en passant aux limites,

rrfô r

— = tang^ =

La sous-tangente et la sous-normale se rapportent à la perpendiculaire au rayon vecteur, menée par le pôle. On trouvera immédiatement les formules suivantes :

Exemples. — i*^. Soit d'abord la spirale d'Archimède :

r = fl9, taDgfA = 9, S„=«.

On voit que la sous-normale est constante et que la courbe, tangente à l'axe, au pôle, tend de plus en plus à être perpendiculaire au rayon vecteur.

Soit maintenant l'équation 7' = - de la spirale hyperbolique

dr a /v o

;^ = --, tangp = -9, S,= -«.

Ainsi, dans cette courbe, c'est la sous-tangente qui est constante.

2°, Considérons encore la spirale logarithmique dont Féquatioii est

r=sac > ^~'"^^ '

r,e dr "'^

tangfx = - » Si = — 9 S«= mr^

T = rll±^, N = rv/TT

La valeur de tang/ji montre que le rayon vecteur est toujours également incliné sur la tangente.

Les valeurs de Sx et S„ prouvent que les extrémités de la normale et de la tangente décrivent des spirales identiques avec la première, et semblablement situées par rapport à des axes différents passant par le même pôle.

Les mêmes formules s'appliquent très-simplement aux sections coniques.

LIVftB II.