THÉORIE DES ASYMPTOTES
235. On appelle asymptote dune branche de courbe infinie une droite telle, que les points de cette courbe s'en approchent indéfiniment sans jamais la rencontrer, à mesure qu'ils s'éloignent indéfiniment sur la branche que Ton considère.
Toute asymptote non parallèle à l'axe des y aura une équation de la forme
yzrzhx -h l,
ket l ayant des valeurs finies.
La branche de courbe aura pour équation
V étant une fonction connue ou inconnue de x^ mais qui tend vers zéro à mesure que x augmente. On en déduit
Â= lim.-) l = lim. (y — kx). Réciproquement, des valeurs de A et / ainsi déterminées pour une branche réelle de courbe correspondront nécessairement à une asymptote de cette branche, puisque^ — hx — /a pour limite zéro , pour les points de cette branche dont 1'^ croît indéfiniment.
Les asymptotes parallèles à l'axe des x correspondront aux valeurs de k égales à zéro. Pour trouver les asymptotes parallèles à l'axe des y, on considérerait T équation
X = k'y -+- /' et l'on ne s'occuperait que des valeurs de h' égales à zéro.
236. Appliquons ces considérations à une courbe dont l'équation peut se partager en plusieurs parties homogènes par rapport à x^ y, et peut être mise , par conséquent, sous la forme suivante, où nous supposerons les exposants de x décroissants :
■'iS)--^i$)
Soit - = />, d'oùy = px; il faudra d'abord trouver la
limite de p pour x = oo .
La substitution donne
JT-F (;>)+*«/(/>)-+-...= G,
d'où
et à mesure que x augmente , F [p) s'approche de zéro ; donc les valeurs limites de p^ c'est-à-dire les valeurs de Ar. sont des racines réelles de l'équation
Il reste à trouver la valeur de / correspondante à une valeur de h 5 pour cela on posera y — Ao: = f , et l'on cherchera la limite de t.
L'équation de la courbe devient, par cette substitution,
mais puisque F (/c) = o , on a
6 élanl compris entre o et -f- 15 on a donc
a^-urU-^Blj^x^/U-h^j -f- ... =0, ou
Si w = 71 H- I , a: = Qo donnera pour limite de f , c'està-dire pour valeur de /,
F' (A)' Si m> 7î H- I, on a
Si /n<^w-|- I, t n'a pas de limite, et il n'y a pas d'asymptote pour cette valeur de k. Ainsi , en général , Té-
quation de l'asymptote sera y = kx — yrrk^ f (^) se
rapportant aux termes de degré m — i, et devenant nulle si 7i<^ m — I : il n'y a pas d'asymptote si n^m — i .
Si n<^m — I, l'équation de l'asymptote est de la formey — hx = o.
Si , dans le cas de w = m — i , la valeur de A: tirée de F (ft) = o satisfaisait aux équations F* (k) = o^f(k) = o, l'équation de l'asymptote deviendrait indéterminée ; et Tonne pourrait en tirer l'équation cherchée, parce que le terme en a:'"~* devient du même ordre que les deux premiers, et ne peut plus être négligé.
Dans ce cas, Téquation qui détermine la limite de t se mettrait sous cette forme :
