xj

-hx^'o U + -) + ,.. =0,

CALCUL DES DiRlVéKS ET DES DIFFÉBBNTIELLBS , ETC. 335

j:'"-*^ /-J étant le troisième terme de l'équation proposée.

Divisant par x"*"* et passant à la limite , / sera déterminé par l'équation

On agirait semblablement si ces trois nouvelles fonctions devenaient nulles, pour cette valeur particulière de k.

Si n<^m — I, et F' (/r) = o, on n'a plus nécessairement l = o.

237. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on connaîtra toutes les directions qui peuvent donner des asymptotes , en cherchant toutes les valeurs de 9 qui donnent à r une valeur infinie.

Soit a une de ces valeurs de 0, on cherchera la limite de r sin (9 — a) qui est l'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la courbe sur la droite menée par le pôle sous l'angle a avec l'axe. Cette limite sera la distance de cette droite à l'asymptote, et le signe dont elle sera affectée fera connaître de quel côté elle se trouve. Si le produit r sin [0 -. — a) croît indéfiniment , il n'y a pas d'asymptote dans cette direction.

On trouvera le même résultat en cherchant la limite

de r (0 — a) ou celle de r sin (0 — a), puisque la limite de

sin (0 — a) ,, . ,

— ^ i est 1 unité.

Soit pour exemple l'équation générale

Aï, As, ..., A,rt étafit des fonctions quelconques de 9.

L'équation F (ô) = o fera connaître toutes les directions possibles des asymptotes. Soit a une des racines réelles de cette équation et 0 = a + 5^ puisque F (a) = o, on aura F (a -H (î) == cîF' (a + 6cî), et l'équation de la courbe devient alors, en divisant par r^*"%

Lorsque r devient infini , il ne reste plus que les deux premiers termes , et l'on trouve

lim.r(0— a) = Iim. /•(? = — I^,\ ■- ^ ' F' (a)

Si l'on avait/" (a) = o, F' (a) = o, on agirait comme dans le cas précédent.

Exemples, — i^. Soit proposé de trouver les asymplotes de la courbe ayant pour équation

aj2 ^ ijpy ^ cx^-\~ dy H- ex -\-f-=i o ;

on a , dans ce cas ,

F {k) = ah'''\-hk'^c,

f[k)=dk +6'.

K = — 5 ce qui exclut 1 ellipse.

L'équation de ces asymptotes devient

dk -i-e

X=z kx-