En partant de Téquation ci-dessus
qui renferuie non-seulement toutes les courbes algébriques, mais encore toutes celles dont les termes ont des degrés déterminés par rapport kx et y^ on arrive à une propriété remarquable des asymptotes , qui consiste en ce qu'elles peuvent être considérées comme limites des tangentes à la branche de courbe à laquelle elles se rapportent.
Nous pouvons supposer à Taxe des y une direction arbitraire, et alors - tendra vers une limite finie Ar qui sera
racine de l'équation
CILCDI. DES DÉKIVÉES ET DKS DlFFÉaENTIKLLBS , ETC. 339
Cela posé, soit f {x,y) le premier membre de Féquation (i), on aura
V« = -j[^F'(j)+x./'g)-H...] + mx'«- F f - W w^"-'/ (M -h . . . • ,'W=i[^F'(j)+x-/'(j)-f-...],
d OÙ l'on tire
Or, si l'on fait croître x indéfiniment, F ( -| tendra vers zéro, et Téquation {2) donnera
(3) liiîi.^=lim.$^-
X tlx
Ainsi d'abord , lorsqu'une branche -de courbe a une asymptote, sa direction est la limite de celles des tangentes à cette même branche.
Cherchons maintenant la limite du point où la tangente rencontre l'axe des j., et dont l'ordonnée esx
^ dx
L'équation (2) donne
dy \x) a:™-«~' \x)
34o LIVRE II.
Supposons d'abord n = m — i ou n<^m — i, auquel cas la branche de courbe aura une asymptote-, on aura alors
lim
Or cette expression peut être simplifiée au moyen de l'équation (i). En effet, en divisant cette dernière par x*"""* et supposant d'abord n =z m — i , on obtient , en faisant croître x indéfiniment,
K.n.[xF(^)-H/(j)]=o.
L'équation (5) donne ainsi
et, par suite,
donc la tangente coupe Taxe des y en un point dont la limite coïncide avec celui où ce même axe est coupé par l'asymptote.
Si l'on avait n<C^m — i , la fonction^n'existerait pas, et l'on trouverait
L'asy/nptote et la limite des tangentes passeraient alors par l'origine.
CALCUL DES Dl^RlVÉES ET DES DIFFJÉRENTI ELLES, ETC. 3!{l
Supposons enfin n^m — i , alors la branche de courbe infinie n'a pas d'asymptote. Faisons n = m — i -I- J', l'équation (i), divisée parjc", donnera
et, en introduisant cette condition dans Tëquation (4)9
on trouvera que y — x— deviendra infini avec x, et,
par conséquent, qu'il n'y a pas de limite pour le point de rencontre de la tangente avec l'axe des y.
On arrivera donc, dans tous les cas, au même résultat, soit en cherchant l'asymptote d'une branche infinie, soit en cherchant la limite des tangentes.
Mais il faut bien remarquer que nous entendons ici , par limite des tangentes , la droite qui , menée sous Tinclinai son limite, coupe l'un des axes, celui des j* par exemple, au point limite où cet axe est coupé par la tangente variable. Ce ne serait pas déterminer une droite, que de dire simplement qu'elle est la limite d'une droite mobile qui ne reste pas toujours parallèle à elle-même. En effet, cette droite est située de la même manière par rapport à des droites parallèles entre elles , quoiqu'elle les coupe en des points qui peuvent être fort éloignés les uns des autres; et si elle s'approche indéfiniment de l'une de ces parallèles, elle s'approche également des autres, à partir des points respectifs où elle les coupe.
La démonstration que nous venons de donner se déduit si simplement de la forme de l'équation (i) pour laquelle nous avions calculé l'équation générale des asymptotes, que nous avons cru ne pas devoir Tomettre. Mais précisément parce qu'elle est fondée sur cette forme, elle n'a .pas toute la généralité qu'on pourrait désirer, et nous
aillons traiter la question, iiidépeudamment de toute forme particulière d'équation.
239. Une asymptote est y en général , la limite des tangentes. Considérons une branclie infinie de courbe quelconque ayant une asymptote AX {y^g*. 85)-, cette courbe n'étant pas donnée par une équation , il est nécessaire d'en connaître certaines conditions géométriques bien déterminées , sur lesquelles le raisonnement puisse se fonder. Nous admettrons , comme seule définition de celte courbe, qu'elle est telle, que depuis un certain point B jusqu'à l'infini, ses points aillent constamment en s'approchant de AX, et que l'inclinaison de sa tangente sur AX varie toujours dans le même sens. Il est d'abord évident que depuis le point B la courbe est convexe vers AX: car la tangente en un point quelconque rencontrera AX au delà de son point de contact, puisque les distances à AX vont en diminuant de ce côté^ si donc la courbe était concave vers AX, et , par suite , comprise entre AX et sa tangente , elle couperait AX , ce qui est contre l'hypothèse.
Cela posé , menons une droite fixe quelconque A Y ; prenons sur cette droite un point P plus rapproché de AX que ne Test le point B, et menons la droite indéfinie PU parallèle à AX. Elle coupera nécessairement la courbe en un seul point M, qui sera d'autant plus éloigné de A Y que AP sera plus petit.
Si maintenant on joint le point P successivement aux différents points de la courbe situés au delà de M, cette droite coupera nécessairement AX, et, par conséquent, rencontrera auparavant la courbe en un second point. Celte sécante, tournant continuellement autour de P, deviendra tangente dans une position unique PQ, et le point de contact N sera au delà de M. Or les tangentes aux
points situés au delà de N couperont nécessaiiemem PQ entre N et Q , et AX au delà de Q -, elles couperont donc Aï entré A et P 5 et comme PA peut être supposé aussi petit qu'on voudra, il s'ensuit (|uc les tangentes à la courbe couperont A Y en des points qui iront constamment en s' approchant de A, et ([ue leur dislance à ce point a pour limite zéro. Comme d'ailleurs l'angle qu'elles font avec AX a zéro pour limite ^ on peut énoncer la proposition suivante, qu'il faut entendre avec les restrictions indiquées ci- dessus :
Lorsçuune branche in finie a une asymptote , les tangentes à cette branche coupent une droite fixe non parallèle à r asymptote y en des points qui ont une limite à mesure que le point de contact s^ éloigne indéfiniment^ leur direction a de même une limite , et si Ton mène par le point limite une droite dans cette dcrnii're direction , elle coïncidera (wec V asymptote,
240. Si les conditions géoniétrifjucs que nous avons admises n'existaient pas , il serait possible que la branche de courbe eût une asymptote, et que les tangentes n'eussent pas de limite.
En effet, si Tinclinaison de la courbe ne variait pas toujours dans le même sens, les tangentes aux points situés au delà de N pourraient ne pas couper PQ entre P et Q, et, par suite, AY entre .P et A^ rien ne prouverait alors (jue leur point de rencontre avec AY aurait une limite ^^ et il est même facile de trouver des cas où cela n'a pas lieu.
Soit, par exemple, l'équation
a -\- sin X m étant positif cl a ^ i. La tourbe est tout enlièie au*
344 UVMM, II.
dessus de Taxe des x ; de plus , elle s^en approche indéfiniment, et, par conséquent, cet axe en est une asymptote. Cherchons maintenant le point où la tangente cdnpe Taxe
desj^. Sonordoiméej — a> ~- a la même limite que — ^^^
puisque l'ordonnée jr du point de contact tend vers zéro. Mais on a
^ . . in(tf -hsinx)
JT —- = x'-" cosx ^^ : ,
dx x"
expression dont le dernier terme tend vers zéro. 11 reste donc à trouver la limite de x*~"* cos x. Or cette Ifanite est zéro lorsque Ton a /n^i , et alors la tangente a une limite, qui se confond avec l'asymptote. Mais si Ton a
/w = i, ou m <^ij
X— sera indéterminé^ il pourra avoir toutes les valeurs
comprises entre deux limites finies dans le premier cas,
et infinies dans le second. D'où Ton voit qu'a/ie branche
de courbe peut ai^oir une asyniptolCj sans qu il existe une
limite pour ses tangentes.
Il est bon de remarquer que la tangente, considérée à
partir de son point de contact, tendrait indéfiniment vers
dy l'axe des x , parce que y et — tendent vers zéro \ mais si on
la prolonge jusqu'à l'axe des j^, elle s'écarte de Taxe des x, de quantités finies, ou même croissant indéfiniment, comme nous venons de le démontrer. Or, dans ce cas , on dit qu'une droite n'a pas de limite, parce que c'est toujours a l'origine et aux axes fixes qu'on la rapporte.
241. Toute limite des tangentes est asymptote. — Celte réciproque de la proposition précédente peut être démontrée comme il suit.
Soit X'X (fig- 86) une droite vers laquelle conveiçent les tangentes à une branche de courbe iuGnie \ et par là nous entendons que ces tangentes font avec X' X un angle I qui tend vers zéro à mesure que les points de contact s'éloi-
gnent indéfiniment ; et que si par un point  pris sur X'X, on mène un axe fixe A Y, il est coupé par la tangente variable en un point dont la limite est A. ' Considérons maintenant une tangente quelconque PQ : il est admis qu'à partir d'une certaine position du point de contact jusqu'à l'infini, le point P va en se rapprochant indéfiniment de A , et que Vangle AQP tend vers zéro , ces deux quantités conservant leurs signes , ou en changeant d'une manière quelconque. Or il est évident que si le point de contact M est toujours situé dans la partie PQ de la tangente, quel que soit l'angle des axes dans lequel elle se trouve, sa distance MT à X'X est moindre que PA, et, par conséquent, il s'approche indéfiniment de X'X, puisque Ja limite de PA est zéro par hypothèse. Donc, dans ce cas, la ligne X'X est une asymptote.
Ce cas est celui qui aura lieu, par exemple, lorsqu'à partir d'une certaine position de la langente, le point Q ira toujours en s'éloignant, et le point P en se rapprochant de A ; car les intersections successives des tangentes se feront toujours dans l'angle YAX, et, par suite, les limites de ces points , ou les points même de la courbe, y seront renfermés.
11 reste donc à considérer le cas où le point de contact serait en dehors de la partie PQ. Or nous allons démontrer que la tangente ne pourrait alors avoir pour limite X'X, à moins que les points de cette branche de courbe ne s'approchent indéfiniment de celte même ligne X'X, qui sera par conséquent encore une asymptote.
Concevons, en effet , une branche de courbe i nfinie dont . l'ordonnée ne tende pas vers zéto, et dont la tangente
fasse avec l'axe W{/ig. 87) un angle ayant zéro pour limite.
L'ordonnée pourra croître indéfiniment ou rester limitée : dans ce dernier cas, elle pourra tendre vers une valeur déterminée-, elle pourra même osciller entre des limites déterminées, de telle sorte que, quel([ue grand que soit x^ la courbe reste, ou du moins revienne, à cortains inlcr\ ailes, au-dessus d'une parallèle située à une distance finie de AX. Or nous allons démontrer que, dans ces différentes hypothèses, AX ne peut elre la limite des tangentes.
En eflct, supposons d'abord que l'ordonnée croisse in-, définimcnt , et menons à AX une parallèle CV, à une dislance AC aussi grande que l'on voudra de AX5 cette parallèle rencontrera nécessairement la courbe en un certain point M, et la distance CM pourra dépasser toute grandeur donnée. Si maintenant par le point C et un point M' de la courbe, situé au-dessus de CV à une distance aussi petite qu'on voudra de M , on fait passer une ligne droite , on sait que, quelque petit que soit l'angle qu'elle fera avec AX , elle finira par rencontrer la courbe en un second point au delà de MM', puisque l'angle de la tangente à la courbe avec AX tend vers zéro. Donc, en faisant tourner cette droite dans le même sens, elle finira par devenir tangente en un point situé au delà de MT Donc, en prenant des points assez éloignés sur la courbe, la tangente coupera A Y en des points C situés à des dis tan ces aussi grandes qu'on voudra de A. Donc enfin les tangentes n'ont pas pour limite AX.
Supposons maintenant que l'ordonnée ne croisse pas indéfiniment, et que les points de la courbe restent constamment au-dessus d'une droite BU menée parallèlement à AX à une distance déterminée différente de zéro, ou bien passent au-dessus et au-dessous de HU à des intervalles
quelconques. Considérons un point M de la courbe situé au-dessus de BU à une distance de AY plus grande qu une quantité donnée quelconque, et menons, par ce point, MD parallèle a AX [fig* 88). En raisonnant comme dans le cas précédent, nous démontrerions qu'il existe une tangente en un point situé sur la courbe , au delà de M , et rencontrant A Y en D , et , par conséquent , au-dessus de B \ d'où il suit que AX n'est pas la limite des tangentes.
Donc enfin AX ne serait pas la limite des tangentes si les points de la courbe étaient situés en dehors de la partie de la tangente comprise entre les deux axes , et qu'en même temps leur distance à AX ne tendit pas vers zéro. Mais si cette distance tend vers zéro , AX est asymptole. D'où il résulte enfin que , quelque part que soit situé le point d« contact sur la tangente variable, si cette droite tend vers une limite , dans le sens précédemment défini , cette limite est une asymptote.
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