CHAPITRE VIIL
DIFFÉRENTIELLES ET DÉRIVÉES DE L*ARC, DE L'aIRE, ET DE L'INCLIINAISON D'UNE CDURBE PLANE. USAGE DES DÉRIVÉES POUR RECONNAITRE LA CONCAVITÉ OU LA CONVEXITÉ.
242. Désignons par s la longueur de l'arc, prise à partir d'un certain point de la courbe : nous avons vu que son accroissement infiniment petit A 5 ne pouvait diflérer que d'un infiniment petit du second ordre, de la partie de la tangente lerniinée à l'ordonnée extrême , c'est-à-dire
/ dy^ , . As I cLy '
de Ax 1/ I -h -7^' Donc la limite de - — est i / i -+• -f- : y dx^ Ajt y dx"^
et l'on a
dy-"
Dans un système de coordonnées polaires on aura
dr^ ,
r' + — -5 ou ds=i )/ r^dB"^ -h dr^.
243. L'aire comprise entre deux ordonnées, l'axe des x et l'arc dHine courbe, croît d'une quantité comprise entre deux parallélogrammes dont la limite du rapport est l'unité, à mesure que A.r tend vers zéro : on peut donc , comme nous l'avons déjà dît, prendre l'un quelconque des deux au lieu de l'accroissement même de l'aire, sans altérer la limite du rapport à Ao:. Si- donc on désigne
CALCUL DIS DÉftIVÉES ET DES mFFÊBElfTIELLES , ETC. 349
l'aire par A , on aura
— - = y sin ô, ou dk = ydx sin 0,
dx ■
9 dësîgûant l'angle des axes.
Dans un système de coordonnées polaires, les deux parallélogrammes seront remplacés par des secteurs semblables, et l'on trouvera
-— = — , ou ûfA. = |r»£/0.
244. L'inclinaison (j) de la tangente sur l'axe de x est déterminée par l'équation
dy laDgip =
d'où
ungT = ^;
OU
di^y do d^jr dx*
^ "*" dx*
^dx dx*
dff = -
Cette valeur de d(f est ce que nous nommerons angle de contingence; il peut être pris pour Aç, qui est celui des deux tangentes aux points dont les abscisses diffèrent de dx^ sans que les limites des rapports soient altérées.
Dans un système de coordonnées polaires , Tangle de deux tangentes consécutives, ou la diiTérence inûniment petite de l'inclinaison (f de la tangente sur l'axe fixe , est égal à l'angle des deux rayons vecteurs correspondants , plus l'accroissement de l'inclinaison de la tangente sur le
rayon qui passe au point de contact. On trouvera ainsi a,^ âp. '"'.
Concai^ité et con^exùé.
245. On dit qu'une courbe est concave en un de ses points par rapport à une droite donnée , lorsque , à partir de ce point, ses deux branches commencent par être comprises dans l'angle aigu formé par la droite donnée et la tangente à la courbe au point que l'on considère. Lorsque , au contraire , les deux branches conunencent par être en dehors de cet angle , on dit que la courbe est convexe en ce point par rapport à la droite.
Nous allons faire connaître les caractères analytiques qui correspondent à ces deux circonstances , en supposant qu'on ait pris la droite donnée pour axe des x. Dans le cas de la concavité, l'ordonnée orthogonale de la courbe doit être moindre en grandeur absolue que celle de la tangente au point que l'on considère , pour les valeurs de x infiniment voisines de celle qui correspond à ce point. Ainsi l'ordonnée de la courbe sera plus petite que celle de la tangente lorsqu'elle sera positive, et plus grande lorsqu'elle sera négative. L'inverse aura lieu pour la convexité.
Or, en désignant par x', y' les coordonnées du point donné, et par h une quantité positive ou négative, qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, on a pour les points de la courbe.
et pour la tangente au point (j^,^ ) ,
donc, si j' est positive, la courbe sera concave si le terme — ( -y^ I ^ îest négatif, et convexe s i! est positif. Or,
si l'on n'a pas --7-7; = o , le signe du terme en question
sera le même que celui de -^-7^ quel que soit le signe de h.
Les deux branches de la courbe commencent donc par être d'un même côté de la tangente 5 ce qui montre que notre définition des tangentes renferme celle des anciens; et l'étude des points singuliers nous fera voir
qu'elle est plus générale. Supposant donc que -^^^ ne
soit pas nnl , on voit que pour les points de la courbe
qui sont du côté desj^ positifs, la condition de concavité
est , , <* o, et la condition de convexité est . , ^ o.
C'est l'inverse pour les points situés du côté des y négatifs.
Si -T-=^ = o, il faudra que l'on ait-— ^ = o pour que
les deux branches de la courbe soient d'un même côté de la tangente dans le voisinage du point que l'on considère,
et c'est au signe de -^—^j- qu'on reconnaîtra la concavité ou
la convexité. De même, si — — = o, il faudra qu'on ait
-— ^ = o, et ainsi de suite.
