Lorsque la concavité se change en convexité

doit changer de signe et, par conséquent, passer par zéro ou l'infini 5 les points où s'opère ce changement se nomment poin ts (Tinjlexion .

Mais il ne suffit pas que -—-^ soit nul pour qu'il y ait inflexion ; car il faut, pour qu'il change de signe, que —-^

ne soit pas nul, ou que -3-^ le soit en même temps, et

d'^Y ainsi de suite. De même , si -7^ est infini , il faudra s'assurer s'il change de signe.

Points multiples, — On appelle ainsi ceux où passent plusieurs branches de courbe, et où l'on peut mener, par conséquent , plusieurs tangentes. On peut les déterminer par des règles très-simples pour toutes les courbes algébriques. Soit F (x, y) z=: o une équation algébrique et rationnelle ; on en tirera

dx dy dx

Or, cette équation devant être satisfaite par plusieurs

, j ^r j. rfF rfF , . ,

valeurs de -7-5 tandis que -p» -7- n en auraient au une dx ^ dx dy ^

, , , dY dY

seule , on devra avoir — = o, — = o, conjointement avec

CALCUL D£à DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 353

F (x, j) = o. Si Ton trouve des solutions réelles com-

munes à ces écjualions, les valeurs de -^ seront données

par Péquation

d'¥ d'F dy d'Y /dyX'

dx^ dxdy dx dy"^ \dxj '

que l'on obtient en diflerentiant l'équation (i), et rem-

1 ^ . r/F rfF

plaçant ensuite -r- et --- par zéro.

'^ * dx dy^

Si trois branches passaient au même point, les coefficients de cette équation seraient encore nuls, et Ton aurait recours à la troisième dérivée de l'équation 5 et ainsi . de suite.

Les deux branches seraient tangentes si deux valeurs

de -- étaient égales.

Si l'équation était résolue par rapport ky et renfermait des radicaux à double signe, on reconnaîtrait les points multiples en cherchant les valeurs de x qui font disparaître un de ces radicaux de y^ sans le faire disparaître

de -f-; car en ces points deux branches de courbe se cou-

dx '

peront, et leurs tangentes seront différentes.