CONTACTS DE DIVERS ORDRES

251 . La courbure en un point d'une courbe étant la limite du rapport de V angle des tangentes extrêmes à l'arc correspondant , aura pour valeur

lim. —î ou -~> • àiS as

f désignant l'angle de la tangente avec Taxe des x ; et si l'on appelle R le rayon de courbure qui est aussi le rayon

du cercle osculateur, nous avons vu que - est la mesure

de la courbure^ on aura donc

et, d'après les formules des n^' 242 , 243, on aura dans un système de coordonnées rectangles

dx^J

dy dx'

et dans un système de coordonnées polaires ,

dr- d'r

3$8 tiv&fi II.

Les réciproques des valeurs de R seraient celles de la courbure.

Si l'on prenait pour variable indépendante une quantité quelconque t différente de l'abscisse, on déduirait l'équation suivante des formules générales par lesquelles on opère cette transformation :

d^ ou R =-

dx d}y df d^x dxd^y — dyd^x

didF'^dtdF

On aurait pu passer aussi à la valeur de R exprimée en coordonnées polaires , en partant des coordonnées rectangulaires. On aurait trouvé la formule obtentie ci -dessus d'une manière directe.

Appliquons cette transformation au cas où la courbe serait donnée par une équation entre l'ordonnée et l'arc , et prenons l'arc pour variable indépendante^ on a

dx €pjr ds ds^

dx d'x' \dsj ds ds^

dx d^x dx d^X

ds ds' • di ds' ""^^

d'où l'on tire

ds'

Il serait, du reste, très-facile de trouver directement cette dernière formule. On déterminerait l'angle de con-

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC.. 35c)

tingence <7ç, en partant jie la formule sîiKp = y-> d'où

doue

^ ' ds V ds^ R = -7- = 9

ds*

formule qui coïncide avec celle que Ton avait obtenue par le cbangement de la variable indépendante.

Courbes osculatrices .

2S2. Si Ton considère, au lieu d'un cercle, une courbe représentée par une équation donnée de forme, et contenant un certain nombre de coefficients indéterminés, on pourra lui donner autant de points communs avec la courbe proposée, qu'il y a de ces coefficients. Si Ton fait ensuite tendre tous ces points vers le premier, la limite vers laquelle tend la courbe variable se nomme la courbe osculatrice de la proposée, relativement à celles qui sont renfermées dans l'équation indéterminée.

Ces conditions géométriques peuvent être exprimées par des relations très-simples entre les coefficients différentiels successifs des ordonnées des deux courbes : soient a^i, 078, 0:5,..., a:«i les abscisses de m points communs à deux courbes, croissant par degrés inégaux suivant une loi quelconque; on supposera, pour mettre le plus de généralité possible dans la question , que l'on prenne pour variable indépendante une quantité quelconque if, dont a:, et par suite j^, seront des fonctions connues.

Soient y i,7*j,j^8,...,^;„ les valeurs* de j^ relatives aux points communs; les différences successives de/i jusqu'à l'ordre m — i peuvent s'exprimer, comme on le sait, au

36o LIVRE II.

moyen des valeurs y i,yt,...,y„, elîlest évident qu'elles seront les mêmes pour les deux courbes, puisque les ordonnées j^,, j^, 5..., j^,„ sont les mêmes. Les rapports

3^seront donc identiquement les mêmes

Ar Ar» Ar-

de part et d'autre, et, par suite, leurs limites seront

aussi les mêmes.

Les m — I premières dérivées àey par rapport à t auront donc les mêmes valeurs au point commun , dans les deux courbes , et il en sera de même de

dx (Px d""-^x

Or on sait, d'après les formules relatives au changement de la variable indépendante , que les valeurs de

df d^y rf'"-'j

dx dx^ ' dx*^^

ne dépendent que des dérivées de x et de j^ par rapport à f , depuis le premier ordre jusqu'à celui que Ton considère , inclusivement.

Donc, quelle que soit la loi continue suivant laquelle les points communs se rapproclient du premier, la courbe limite sera telle j'que pour x = Xi les quantités

dy\ d% d'^-'Xi

^" dx' dx'' ' "' dx»*-'

auront la même valeur, si on les tire de son équation ou

de l'équation de la courbe donnée.

Donc, pour déterminer les m coefficients de l'équation

de la courbe osculatrice, il suffira d'égaler les valeurs des

dv d'"~^y

m quanti tés j^i, — '5 • • • 9 — — ^J? que Ton tirera des équa-

CIX ClXi

lions des deux courbes , et dans lesquelles on donnera à x

CALCUL DES DERIVEES ET DES DlPFEEENTI ELLES , ETC. 36 1

et y les valeurs a^i, jKi du point que Fou a choisi sur la première courbe.

Mais on formera plus simplement ces m équations en difTérentiant 171 — i fois l'équation qu'il faut déterminer, et remplaçant dans celle-ci et dans ses m — i dérivées , X ex y par J^i, /i, et les dérivées de y par celles qu'on tirera de l'équation connue.

Telle est la méthode générale au moyen de laquelle on trouve l'équation de la courbe osculatrice d'une espèce •donnée.

Contacts de divers ordres.

253. Lorsque deux courbes ont un point commun, et que l'on augmente l'abscisse de ce point d'une quantité infiniment petite , la différence des ordonnées est généralement du premier ordre.

Si cette différence est- du deuxième ordre, on dît que les courbes ont un contact du premier ordre; si elle est du troisième ordre, on dit que le contact est du second; et, en général , il y a un contact du «'*'"* ordre entre deux courbes , lorsque la différence de leurs ordonnées, à partir du point commun, est un infiniment petit de l'ordre « -hi : d'où il suit qu'entre deux courbes qui ont un contact d'un certain ordre , il est impossible qu'il en passe une autre dans le voisinage du point commun, si son contact avec l'une quelconque des deux est d'un ordre inférieur.

Pour qu'il n'y ait rien d'incertain dans cette définition des contacts de différents ordres , il est nécessaire de démontrer que l'ordre du contact est indépendant de la direction des axes -, or c'est ce que l'on établit facilement en prouvant que, pour un point quelconque de l'une des courbes, les différences des ordonnées des deux courbes considérées relativement à des axes différents sont dans un rapport fini. Cette différence est la plus petite possible

36a LIVRE II.

quand les ordonnées sont perpendiculaires à la tangente

au point commun.

La seule direction qu'on doive excepter pour les ordonnées est celle de la tangente au point commun.

Maintenant, si Ton développe en séries les ordonnées des deux courbes suivant les puissances de l'accroissement de l'abscisse du point commun, on reconnaît immédiatement que le contact entre ses courbes sera de Tordre n , si les n premières dérivées de l'ordonnée par rapport à Tabscisse sont respectivement égales pour chacune des courbes, quand on y substitue l'abscisse du point com-. mun : car, dans ce cas , la diflérénce des ordonnées exprimée au moyen des. deux termes qui complètent respectivement les deux séries , est un infiniment petit de Tordre n -f- 1 .

C'est là le caractère analytique auquel on reconnaît l'ordre du contact de deux lignes qui ont un point commun.

Autre manière d'envisager les courbes osculatnees.

254. Il résulte de ce qui vient d'être dit sur le contact des courbes , que pour avoir la courbe d'une espèce donnée, qui a le contact de Tordre le plus élevé avec une courbe dont l'équation est connue, il suffit de déterminer les coefficients arbitraires de l'équation généi:ale des courbes dont l'espèce est donnée , en exprimant que , pour l'abscisse que Ton considère, les ordonnées sont respectivement égales, ainsi que leurs dérivées successives jusqu'à Tordre le plus élevé possible. On établira ainsi autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés. L'ordre du contact sera le nombre de ces équations , moins une.

On voit par là que la courbe osculatrice et la "courbe qui a le contact de Tordre le plus élevé sont identiques.

CALCUL DES D^BIVisS ET DES DIFFéREIfTlELLES , ETC. 363

Pour la ligne droite, dont Téquation n^a que deux coefficients arbitraires, le contact ne sera , en général, que du premier ordre; il sera du deuxième pour le cercle. Maïs il pourra arriver qu'en certains points particuliers le contact soit d'un ordre plus élevé.

Lorsque l'équation de la courbe osculatrice cherchée n'est pas résolue par rapport à y^ on forme ses équations

différentielles successives et Ton y substitue à y\ -j-, , etc. ,

les valeurs tirées de l'équation de la courbe donnée. Les seules inconnues sont alors les coefficients ; et s'ils entrent tous au premier degré , on trouvera un seul système de valeurs , et , par conséquent , une seule courbe osculatrice.

Lorsque le nombre des dérivées communes est pair, la différence est d'un ordre impair, et , par conséquent , change de signe avec l'accroissement de x' : donc alors les courbes se coupent. C'est ce qui arrive, en général, pour le cercle osculateur.

Si , au contraire, le nombre des dérivées communes est impair, la différence est d'ordre pair et ne change pas de signe avec l'accroissement de x' : les lignes ne se coupent donc pas. C'est ce qui a lieu dans le cas de la ligne droite , excepté aux points d'inflexion;

255. Les courbes les plus simples que l'on puisse meure en contact avec une courbe donnée sont celles qui sont renfermées dans Téquation

j'=AH-Bar-HCx'H-. . .-hKx".

On peut établir un contact de l'ordre m — i entre les deux courbes, et Ton aura immédiatement Téquation de la courbe osculatrice en développant son ordonnée parla formule deTaylor, après avoir remplacé x par x'-f- [x — x'). Celte équation est la suivante, dans laquelle les dérivées de j' sont remplacées par celles (jue donne l'équation de

364 LIYAX U.

la courbe connue ,

si m = I , on a la droite osculatrice dont Féquation est