Toute expression imaginaire a H- i ^ — i peut

DIXIÈME LEÇON. l3l

être mise sous la forme r (cos t -+- y^ — i sîn t). Il faut et il suffit^ pour cela, que Ton ait

r=^a*-h b*j 005/=—=;^.:= et sinjr = -—

on a aussi

b tang r = - • a

La quantité r, que l'on prend toujours positive, est dite le module àe l'expression imaginaire. Les valeurs de sin t et de cos t font connaître l'arc t ou V argument : on le choisit ordinairement positif et plus petit que la circonférence.

FORMULE DE MOIVHB.

144. Le produit (cosjr-f- v' — isinx) multiplié par (cosj^-+- V — 1 sin^) a pour partie réelle

cos ar cos/ — sin^rsin/ ou cos (a: H-/),

et pour coeflScient de ^ — x ,

sin jf cos /H- sin j cos* ou sin(x-f-/).

Par conséquent,

(cosj: -h V— ' s^"^) (cos/-f- v'— I sin/) — cos(ar -4-/) -\- )/— i sin (a: -4-/).

On conclut delà, quel que soit le nombre des facteurs,

(cos x -h v^ — I sin x) ( cos/ -f- sj — i sin /) (cos « -h y/ — i sin z) . . . = cos(x-h/ + «H )-i-v'— Isin(*-4-/^-^4-...j• En supposant a* =/= ^ = . . . , on en déduit, m désignant un nombre entier et positif,

(i) (cos a: -h v^ — I sina:)'"= cosmx -f- ^ — i sin mx.

iSa COURS D^AWALYSE.

Cette formule, appelée formule de Aloivre^ est encore vraie lorsque m est un nombre fractionnaire^ positif ou

négatif.

DÉVELOPPEMENT DU SINIjS ET DU COSINUS d'uN MULTITLE d'un arc suivant les PUISSANCES DU SINUS ET DU COSlNliS DE CET A.RC.

145, Si Ton développe la formule (i) et que Ton égale, de part et d'autre, les parties réelles et les parties imaginaires, il vient

CCS mx = cos" X ces*""* x sin' x

' w(/ll— l)(w-*9.)(w— -3) ^ . ^

— i ^- — -—7^ i cos'"-« j: sm* a: — . . .

et

sin mx = m cos'"~* x sm x (3)1 mi m —\) {m—'>.) ^ , . ,

cos*"""' X sin' X -h ... .

On voit que cos mx et sîn mx s'expriment en fonction rationnelle de sin x et de cos x. Dans tous les cas, cosmx peut s'exprimer en fonction rationnelle de cos x seul, mais sin ma: ne peut s'exprimer en fonction rationnelle de sin a: seul que si m est un nombre impair.

DÉVELOPPEMENT d'uNE PUISSANCE d'uN SINUS OU d'uW COSINUS SUIVANT LES SINUS OU LES COSINUS DES MUL- TIPLES DE l'arc.

146. Pour résoudre la question inverse et développer cos'" X et sin'" x suivant les cosinus ou les sinus des divers multiples de x, posons

a = cosx-i-v^ — isiax et vz=z cosx — y/ — i sin x,

on aura

2cosji? = a-h*' et 2v'— ï âin«!P = '* — *'?

DIXIÈME LEÇOW. l33

de là résulte

m {m — f) 2* cos*" X = ( a -hi^r = u"* -h- miir^"^ v -\ '• /«""•' c» ' ♦ . . .

Il convient de distinguer deux cas.

1° Quand m est pair et égal à an, le développement

renferme un nombre impair de termes et il y a un terme

j .,. . ■mim — i). . .(/2-f-i) „ „ ^ j

du milieu qui est — ^ ■= — ^ ^u"i^. On a donc,

en groupant les termes également distants des extrêmes,

2'" cos^-r = tt™ -4- (^ -h mftv ( a"*-^ -h i/"~*) -f- . . .

mim — i). . .(/î 4- i)

Or 11^ -f- 1^'' = 2 cos px et ïi'' p''' = i , puisque wt> = 1 5 donc

2« cos" j: = 2 cos mx -f- 2 w cos [m — 2) jf -h . . .

don

!2'"""' cos"* Jî = cos mx -\- m cos {m — i)x mim — i) ,, im(m — i)...(/?-f-î) + — i ^cosf/w— 4)x-|-...H ^— i i.

2° Si m est impair et égal à 2n + i, (m -f- j^)"* aura un nombre pair de termes, et Ton obtiendra facilement

i2'"~' cos** JT = cos mx -4- m cos (m — 2) x ,-. m(m—i) , ,, wf/w—i )...(« -1-2)