On a pour toute valeur réelle de a
Convenons d'appeler e '^"^ le résultat de la substitution
de X \/ — I à la place de a: dans la série ci-dessus : on aura
ou
I / ar» jr» \
* \ 1.2.3 1.2.3.4-5 / ce qui revient à
(i) tf**^= cosJ7-h V — isina^.
En changeant x en — x, on a
(2) <r-**'^=:cosjr — ^ — isinjT.
On tire de là
( 3 ) cos X =
et
(4; Sinxn: r=
149. Lorsque x ely sont des quantités réelles, on a (5) . r'X«»' = c'^.
l36 COURS D ANALYSE.
La même relation a lieu quand on a j: V — i et y si— i au lieu de x et de^. Effeclivement on a, en multipliant membre à membre Téquation (i) et celle qu'on obtient par le changement de x en j",
r'^-'X cT*^--^ =r ODS (jr -+-/)-+- y'— isin(d? -+-/), c'esl-à-diré
Celte relation se démontre encore de la manière suivante. Quand X ei y sont réels, on a
<?*Xe^=<?*^^;
il s'ensuit que, dans ce cas,
Or cette relation est une identité, car elle doit avoir lieu pour toutes les valeurs, réelles de x et de y^ sans aucune dépendance entre ces valeurs. Par conséquent, l'identité subsiste encore lorsqu'on change a: et j^ en
x\j — I et y>J — 1 j donc
150. Par extension, on est convenu de représenter par ^x+jr>f^ le résultat de la substitution de x -^ysl — i à la place de x, dans la série
x"^ Jt*
La formule c' X e-^= 6'+-^ est encore vraie lorsque les
exposants sont de la forme x -^-y V — i .
En effet, on aura d'abord, en changeant y en y \—l dans Téquation identique (6),
DIXIEME LEÇOlf. l^J
on a, par. conséquent,
^-H-/--! __ ^« ^cos p + y' — I sin <») ; donc
e^/*^ X c"-^^^ = <?*+« [cos (/ + «') -I- v~ sin ( j + ï')] , c^est-à-dlre
151 . Toute expression imaginaire a-^-b y — i pei/t être mise sous la forme e"'+-^*^~*. En effet, comme
e*-^^^^ = e*[cosy -f- y^ — i sinj),
il suffit, pour opérer celle transformation, de poser
e*co%yz=za, <?'sin^==^; dV>Ci (^)*=ra'-4- ^*,
et, comme e* est toujours positif,
On aura ensuite
cos^ = - et sm^ =
v//z' -f- b^ \ia} -4- ^>
Alors, si ç est le plus petit des arcs positifs qui ont
~l~ — ,- pour cosinus, et / ' pour sinus, on aura
yz=z7.iiz-f-9y
I étant un nombre entier quelconque, posilif ou négatif. D'après cela, on a
On obtient encore ce résultat de la manière suivante. Posons
p(cosç-hv' — i siny) = « -4- 6 y-— I,
i38 COURS d'aivalysr.
on aura
p :=z v/«* -\- 0% cos«p = . et smo =^ ■ •
Il suffit donc que l'on ait
6''(cosr -h v^ — I sinj) = p(cosy 4- \/ — i siny), c'est-à-dire
tf*cosj^ zr= pcos», e*sin^ r=psiny :
de là on lire
[C'Y = p% d'où e« = p = -h yja^ -h 6»,
par suite,
cos^ = cosy et sinj = sin » ;
donc
{'étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, ce qui donne encore la formule (7).
