Si l'on convient d'appeler logarithme népérien

de a -f- A V^ — 1 Fexposant imaginaire de e, dans l'égalité (7), on aura

Sous ce nouveau point de vue, une quantité quelconque a un nombre infini de logarithmes, parce que i peut avoir toutes les valeurs entières possibles, positives ou négatives. Si & = o, on a, en désignant par 1 (a) ces nouveaux logarithmes,

\[a) r=lflr 4- (a/TT-f- y)v'--i«

Si a est un nombre positif Â, on a f = o et

l(A) = lAH-aiVV— ï»

ce qui montre qu'un nombre positif a un seul logarithme

réel et une infinité d'imaginaires.

DIXIÈME LEÇON. iSp

Si a est un nombre négatif — A^on a cj) = tt et

I ( — A) = 1 A -h (2/ -h i)7r v^TT.

Ceci fait voir qu'une quantité négative n'a pas de logarithme réel, puisque, même en faisant i = o, on a toujours

1(— Aj^rlA-f-ffV^^- Dans le cas où A = I , on a

l(l)z=:2/7rv'— I et 1( — l)i=:(2/ -hl)7rv'— I,

EXERCICES

i . Trouver la différentielle de

y~ 1 (cosa:+ yJ~^%\Xix),

Solution.

dy = }J —idx,