RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS BINOMES

Résolution de Téquation x"' = «. — Théorème de Cotes.— Résolution de réquation a:* = — a, — de l'équation x*" = a -|- h^ — i .

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION X"" = a.

153. La formule de Moivre peut servir à résoudre réquation binôme x^=dz a. Nous traiterons d'abord réquation

a étant une quantité réelle et positive. A cet effet, posons

j?z=r(cosr H- v' — isin/), d'où

jc*" = r*" ( cos w/ -f- y/ — I sin/7?f) :

on aura pour déterminer ret Z Téquation

r'"(cos/w/'H- v'^ — ï sin w/) = a, qui revient aux suivantes :

r"* cos mt = a^ r'" sin ml =io.

En élevant ces deux équations au carré et ajoutant, on a d'abord

d'où

r^" = fl%

4- V a désignant la valeur arithmikique de la racine m*''"* de a. Il suit de là que

s'mmt=zo et cos/y// = -4- i;

ONZIÈME LEÇON. l4l

donc

,, ^ irre

/w/=:2i7r. d ou t =z }

I élant un nombre entier quelconque, positif oq négatif. Ainsi l'équation (i) est résolue par la formule

X=:r [ ces h V — *

Slll •

154, Pour avoir toutes les valeurs de a:, il suffît de donner à i les m valeurs o, i, a, 3,..., /w — i. En effet, posons

k étant un nombre entier, positif et moindre que m. Il en résulte

2/7r 2/ff , lin . P. /tt 2/?: îA-tt z=:2<77rH 5 Sm z=:sm- 5 COS =:COS >

et, par conséquent,

2/7r. / . 2fir ikn , . 2, kit