X -f-rM

2 rcos

(m —^)tc

x-hr'

2° Si m est impair, on doit faire k égal à o, i, 2, 3, . . . , 5 et l'équation Jc" — /•"* = o aura pour racines

x = r [ cos

— ±: V — ï sm — 1 m m j

I sin ^=— M

xz=.r\ cos

(/W l) TT

rh y' — I sin

. (w — Ott

Dans ce cas, on a

*" = (ar — r) ix^

27r 2rcos — • x-h /

I X ( ^'— 2rcos-ï- 'jc-f r* ) . . . ( j:'r— 2rcos-^ —x-^r^y

L'interprétation géométrique de cette formule et de la précédente conduit au théorème de Cotes.

Décrivons un cercle avec un rayon égal à /•; menons un Fig. 7. diamètre AA', et, à partir du

point A, divisons la circonférence en m parties égales. Prenons sur cediamètre une longueur OM = o", et joignons le point M aux divers points de division • MB étant Tune de ces lignes, on aura

WB = OB -+- OM — 2OB.OM cosBOA,

t44 COURS d^ahàltse.

ou .

MB . MB' = a:' -f- r' — 2 rj: CCS — •

De même,

^ MC.MC = x^ -h r^— 2rxcos ^. . ..

On trouve ainsi les divers facteurs du second degré qui composent x^ — /'"*.

Si m est pair, il y aura deux facteurs réels du premier degré x — /' et x -h r représentés par MA et MA', et dont le produiC donnera le facteur du second degré jr* — /*. Si m est impair, il n'y aura qu'un facteur réel du premier degré x — /' ou MA.

D'après cela, les formules (i) et (2) expriment ce théorème dû à Cotes, que la différence des //t**"""' puissances des lignes OM et OA est égale au produit des lignes menées du point M aux div^ers points de division de la circon/éren ce.

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION X'" = -^ a.