Exemples, i** L'eijpressîon devient
* ûc — a o
pour j: = fl. Or la dérivée de x'" — a"* est ma:'"""*, et celle
,yjm ^___ ^"t
dex — a est i: donc la vraie valeur de '— est ma'"^^
pour x = a, quel que soit m.
tP En appliquant la même règle, on trouve que, pour
X = a. la vraie valeur de ; est o.
On peut le voir autrement, car
x^ — 4^^'+ 5fl^j: — 2a^~- (x — ay[x — 2/i), x^ — a^=i[x — a)[x-^a)\
donc la fraction donnée est égale à
(.r — aYix — la) (x — «) (.-r — 7.a)
— ^- -^ ou ^ — •
expression qui devient bien o pour x = a,
siri-^ • o
3** Soit — -• Pour X = o, cette fonction devient -; X ' o
la dérivée de sinx est cosx, et celle de x est 15 donc la
,. . , sin.r
Jimite de — — est 1 pour x= o.
Ce résultat doit être considéré comme une vérification, mais non comme une démonstration, puisque nous n'a-
ï5o COURS d'analyse.
vons obtenu la dérivée de sinjc qu'en nous appuyant sur
s\nx
ce théorème, que 15 m '■ est i pour jt: = o
sin'-r
4^* En appliquant la même théorie on trouve lim
pour .r = o; cette limite est o.
On y arrive aussi de la manière suivante :
lim
lim
On aurait de même
X lim sin j? = i X o = o.
,. tanffx .. sinx lim — ^-- = lim
X lim = I X 1 ==: I .
X coso;
5° Éimite de
é* — tf"* — IX
X — sm T
pour a: = o,
On trouve successivement'
ts['[x
I — cos^r
- pour X =r o ;
— ; =— pour XZ=lOl
suiar o
CQSX
2 pour X z=io,
La limite cherchée est donc égale à 2.
On serait parvenu à ce résultat, en remplaçant e', e et sinx par leurs développements en séries. En effet,
smx zzzx
donc
X — smx
DOUZIEME LEÇOIV. l5x
d'oii
C* — C~* — IX \l.2.3 1.2. 3. 4-5 '/
X — siilj: .r^ .r^
Sî l'on divise le numérateur et le dénominateur du scr cond membre par a:', puis qu'on fasse x = o, on trouve
encore
lim — . = 2.
X — siïix
6® lim r— = — 2 pour x = i
\x ^** lim == I pour .r = i.
co
VALEUR DES EXPRESSIONS QUI PRENNENT LÀ FORME -r-*
164. Supposons que l'expression y — - prenne la forme — ? pourx=a, il s'agît de déterminer la valeur
de lim-^: — -• On a identiquement
or, pour a: = rt, -~— - et -- — r sont nuls. Donc la vraie valeur de cette expression sera la limite du quotient des dérivées de -^ — - et de —--79 et iW aura
lin, ?ifi =Iim -^^ifjl = li.„ [€lfl X 1^' X îi^l
i5a couns d'analysb.
ou,* en désignant par A la limite de 5^:— r»
d'où
A ou hm •^—-{ =1 hm 777-; •
On retombe ainsi sur la règle donnée dans le cas où
l'expression proposée devient -^ par conséquent, si n-f- i
désigne l'ordre des dérivées de (f{x) et dey(j:) qui, les premières, ue sont pas nulles ou infinies à la fois, on a
