VALEUR DES EXPRESSIONS QUI PRENNENT LA FORME O X

166. Pour trouver la valeur de l'expression ^(^)f{^)n dans laquelle (f{a) = o elf{a) = 00 , on observe que

Ç(X)/(X) = iM,

expression qui devient - pour a: = a.

On peut encore poser

qui devient — pour x = a.

Dans les deux cas, on appliquera les règles précédentes. On trouvera ainsi

lim (i — j:) tang — = - pour jo m 1

167. Lorsque les dérivées de (f(jc) et de J^{x) conduisent à des expressions qui présentent toujours pour x=a\a même indétermination que celle dont on cherche la vraie valeur, il faut recourir à des artifices particuliers. Celui qui réussit le plus généralement consiste à remplacer X par a H- A, à développer les fonctions par la série de Taylor, à opérer toutes les réductions et simplifications possibles, et à faire finalement h = o. Ainsi

, s yx — v^ -^ \/'^ — «

i54 COURS d'analyse.

devient - pour x = a. Le quotient des dérivées

9, ^/.r 2 \/jr — a

devient — 5 et les dérivées suivantes donneront tou-

jours — • Pour déterminer la valeur de l'expression (1), posons X = a -j- h'^ elle devient

^a -^ h — y'S -f- sjf^ y/h^^a -h h

Si l'on multiplie les deux termes de ce rapport par

^/a 4- // H- ^«1 il vient

/i -^ \fJi { yja H- // -+- \/rt ) divisant ensuite ces deux termes par ^/i, ou a

^2« -h h ( \la -+- // -f sja) expression qui, pour h = o, devient

ou

On serait encore parvenu à ce résultat^ en développant \'a -+- /i par la formule du binôme.