EXTENSION DU THÉORÈME DE TAYLOR

170. Soit u =f[Xyj) une fonction de deux variables. Pour développery [x -h h^ y -\- k) suivant les puissances de h et de A, on change d'abord x en .r -H ht^ y eny-hkt et, dans le résuhail f [x -i- ht ^ y -h kt) développé suivant les puissances ascendantes de t par la formule de Maclaurin, on fait f = i.

Soit donc

si Ton pose, pour simpliGer la notation,

x-hht=p et y-\- At=:qy on a

Maintenani on a, d'après la série de Maclauriu,

f W = ? (o) + tf' (o) + -^ ?'{o} +...+ --Ç— ?W (o) + R

R^, . r . [y^"MQ0~y^"Ho)3>

et

Mais, à cause de y (f ) = U, puisque Ton a

dp -= hdty dq z^ kdt'y

l58 COUns D*A.IN[ÀLTSE«

donc

Si Ton désigne cp^ (^) par U', U sera encore une fonction dep et de q, et Ton aura

^ ^ ' r//? ^7 rf/>» dpdq dq^

Mais le dernier membre n'est autre chose que le développement de { -j- /* H — 7" ^ ) dans lequel on aurait

remplacé cîU* par c?*U; on peut donc écrire la formule symbolique

on aura de même

et, en général,

ce qu'on démontrera aisément en faisant voir (comme pour les différentielles totales des fonctions de plusieurs variables) qu'une nouvelle différentiation revient à multiplier chaque terme de Texpression symbolique par

~ h -f- -7-^> ptiis à changer les exposants de rfU en indices de différentiation.

Ainsi donc on aura généralement