FONCTIONS HOMOGÈNES

175; Une fonction est dite homogène^ lorsqu*'en multipliant les variables qu'elle contient par un même facteur, le résultat est égal à la valeur primitive de la fonction multipliée par une certaine puissance de ce facteur. Ainsi f(x^ j", z) sera une fonction homogène si l'on a

m est dit le degré de la fonction.

176. Si Von dmse une fonction homogène du m"""' de^ gré par une des variables élevée à la puissance m, la fonction ne dépendra plus que des rapports des autres variables à celle-ci.

En effet, posons /a: = i, on aura ^= -> ei la relation

devient

J(tx,ty,tz)=rf{x,y,z)

fil t i\__/ifiZil}.

Réciproquement^ si cette condition est remplie, la fonction est homogène. En effet, si

TREIZIÈME LEÇOI9. l63

on a

/(f;r, fr,/z) = rx«ç^J,i^

Éliminant la fonction f , il vient

f{tx, ty, tz) z= r/(j:, jr, 2), ce qui démontre que la fonclion/(j:,j^, z) est homogène.

177. Les déris^ées partielles et du premier ordre de toute fonction homogène du m'*'"* degrés f[^^y^ -^l» sont des fonctions homogènes du [m — i)"»»* degré.

Soit, en efifet, "^^'^jj^^^ = ? (x,j, z)s on a (175)

f[tx,tXytz) = t'"f{ùc,y,z)',

d'où, en prenant la dérivée des deux membres par rapport à x,

(p(/j7, t)\ tz) t = r'tf[.T, j, z);

ce qui revient à

rf(tx,tx,tz) =r-'ff{x,x,z);

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donc (176, récipr,) ^(x,/, z) ou — ! est une fonc-

tion homogène du (m — i)'*'"* degré.