VARIABLE INDÉPENDANTE

182. Soit y (x) une fonction d'une seule variable t. Si, en faisant croître x, la fonction prend une valeuri^elle qui surpasse celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement, cette valeur de la fonction est dite un maximum. On appelle minimum une valeur moindre que les valeurs voisines.

S\f(x) devient un maximum pour x = a, la dîfférencey(a -4- A) — f(^) sera négaWe^ quel que soit le signe de A, pourvu qu'on prenne h suffisamment petit. Cette différence serait /^05i7iVa s\f[a) était un minimum.

183. Une fonction peut avoir plusieurs valeurs maximums et minimums, lesquelles doivent se succéder alternativement. Un maximum peut être moindre qu'un minimum. Un maximum négatif devient un minimum quand on fait abstraction de son signe, et de même un minimum négatif pris positivement devient un maximum.

Ces diverses conséquences de la définition sont rendues manifestes par Tinspection de la courbe sinueuse ABCDE.

Soit j =/(.r) l'é-

Fig. 8.

i68 coL'Rs d'analyse.

qualion de cette courbe; les valeurs maximums et minimums de f[x) sont évidemment les or^^onnées des points A, B, etc., où la tangente est parallèle à Taxe des x. On voit que Tordonnée du point A, qui est un maximum, est moindre que l'ordonnée du point D, qui est un mîmimum, et que Tordonnée du point B, qui est un maximum en valeur absolue, est un minimum quand on la prend avec son signe,

184. On sait que la fonction /(x) croît continuellement lorsqu^en faisant croître x^ dans un certain intervalle, la dérivée^ [x) reste constamment positive, et que f(x) décroît au contraire quand la dérivée est négative. ( La fonction f[x) ne devient donc ni maximum ni mi-nimum tant que, x croissant, la fonction dérivée conserve le môme signe. Mais si la dérivée cliange de signe lorsque x atteint et dépasse une certaine valeur a, alors la fonction y (.r) deviendra, pour cette valeur, un maxi^ mum si la dérivée passe du positif au négatifs ou un minimum si la dérivée passe du négatif au positif. Cette dérivée ne peut d'ailleurs changer de signe qu'en s'évanouissant, ou bien encore en devenant discontinue ou inûnie. Ainsi, les valeurs de x qui rendent /^(j:) maximum ou minimum sont uniquement celles pour lesquellcs^ (x) devient nulle, infinie ou discontinue en changeant de signe.

185. Ordinairement le maximum et le minimum répondent à des valeurs de x pour lesquelles la fonction dérivée change de signe en s'évanouissant et en restant unie et continue. Dans ce cas, on peut établir les conditions du maximum et celles du minimum à Taide de la série de Taylor. On a d'abord

Si y [x) n'est pas nulle, la difrérence/^(j: -f- h) — f(x) a le même signe que hf (x). Cette diiïérence change donc

QUATORZIÈUE LEÇON. l6()

de signe avec h\ donc/(j:) n'est, dans ce cas, ni maxi* mum ni minimum.

Mais si/'(x) est nulle et si /"(a:) ne l'est pas, on a

/(r-f.A)-/(x)=^/-(:r)-hR;

alors, quel que soit le signe de /ï,y(x-f-A) — f(^) a le même signe que f (x). Donc, s'if^^(x) est positive pour la valeur de orque Ton considère et qui annule y (x), f(x) est un minimum, et si/*" (a:) est négative, ^(a:) est un maximum.

Mais sif'^{x) est nulle, on aura

et s\ f^^^ (x) n'est pas nulle, /!( or -j- h) — f(^) changera de signe avec h if(x) ne sera ni maximum ni minimum. Si y" (a:) = o, on aura

etf(x) sera un minimum ou un maximum selon que y*^ [x) sera positive ou négative pour la valeur de x qui annule f (x) y f^^ [x), f'^^ [x) ^ et ainsi de suite.

186. En général, quand une "valeur de x annule quel^ queS'Unes des dérivées successwes f [x)^f" (r), . . . , if la première détwée qu^elle n^ annule pas est d'ordre pair^ la fonction f [x) est un minimum ou un maximum^ selon que cette déiivée est posifii^e ou négatii^e; mais il îi^jr a ni maximum ni minimum si la première dérivée qui ne s^ annule pas est d'' ordre impair.

Cette règle s'accorde avec celle que nous avons donnée plus haut {n? 184) ; car si, par exemple, les trois premières dérivées s'annulent, on aura, en appliquant la série de Taylor à la dérivée.

IJO COURS 0 ANALYSE.

et Ton voitbîen que/"' (r) chaiïgçra de signe avec A. Il est clair que^ (a?) ne changerait pas de signe avec h si la première dérivée qui ne s'annule pas était d'ordre impair.

APPLICATIONS

187. 1° Minimum de x*. Comme il revient au même ie faire la recherche du minimum sur le logarithme népérien de cette expression, posons

y(ar) = LiiC*= a? la? ; on aura

f(x)=zi-^\x et /''[x) = -^

Or si Ton fait