I -f- Ijf = o

on a

Comme

I x = — I , d'où X =i e'-' = -

on en conclut que x' est minimum pour x= -

f'ig 9-

2*^ On donne deux points A et B, situés dans deux

milieux différents, séparés par une surface plane P. Un mobile se meut dans le premier milieu aifec une vitesse uniforme Uy et dans le second milieu auec une vitesse uniforme J^; on demande le chemin ÂHB que ce mobile doit suiv^re pour se rendre de h. en ^ dans le temps le plus court.

Il est clair d'abord que ce chemin doit être compose de lignes droites. Je dis ensuite que la ligne brisée qui résout le problème doit être dans le plan ABCD, con-

QUATORZIÈME LEÇON. IJI

duît par les perpendiculaires AC, BD au plan P. En effet, supposons que celle lïgne soîl AGB et qu'elle rencontre le plan P au point G non situé dans le plan ABCD. Menons GL perpendiculaire à CD, el joignons AL et BL. Les triangles AGL et BGL étant rectangles en L. on a AL <C AG et BL <^ BG5 par suite, le mobile ira plus rapidement du point A au point B en suivant le chemin ALB qu'en suivant le chemin AGB.

Cherchons donc, dans le plan ABCD, perpendiculaire au plan P, la ligne AHB, qui est parcourue par le mobile dans le moindre temps possible. Soient*

AC = rt, BD = ^, CD = c et CH=j:;

le temps que le mobile emploie pour aller de A en H

AH i/a^ -V- x^ , ,

est — = 9 et celui qu'il met pour aller de H

« BH ^b'^{c--xy . 1 r •

en D est — = : par suite, la fonction

qu'il s'agit de rendre un minimum est

sjc

xY

Posons do

ne

ou

u \jù

v sjb^ -h (c -

-xY

ou bien

ttt

la' -\-

Si l'on voulait tirer de cette équation la valeur de jc, il faudrait en élever les deux membres au carré, et l'on aurait ensuite à résoudre une équation du quatrième degré. Mais comme

= sinCAH==sinAHK,

sjlr r {c— xY

=r =sinHBD = sinBHI,

I^a COURS D ANALYSE.

on voîl que, dans le cas du minimum [la fonction /"(x) n^a pas évidetnment d^ maximum}, on a

sin AHK sin BHI sin AHK u

;=z OU ■ = — •

U p siqBUI V

Dans la théorie de la lumière, la quantité -i rapport

des vitesses de la lumière dans les deux milieux, est Tindice de la réfraction de la lumière, au passage du premier milieu dans le second.

3° /{x)=z e'-h 2COSX -h e-*.

On a

/^ (x) = e* — 2 sin j? — c'y

J" (a:) z=. e* — ?. cos.r -t- d-*.

Si Ton égale y (x) à o, on a x = o, valeur qui, substituée dansy(x), donne/(o) = 4*

Pour savoir si c'est un maximum ou un minimum, substituons o à la place de x dans y' (x). Comme y' (o) = o, il faut aller plus loin. Or

/'"(a:) :=ztf*4- 2sinjF — er* et /'' (.r) == e* -h 2 cosj: H- <?~',

d'où Ton tire

/^^(o) = o et /-(o)=r4; ■

donc y (o) = 4 est un minimum dey(x).

4** Trouv^er la distance minimum d^un point donné M («, i) à une courbe dont on connaît Véquation

Joignons MK, K étant un point quelconque de la courbe. On aura

En égalant à zéro la différentielle de cette expression,

nous aurons

(x— fl)^-(J--^^) J=:0,

QUA.TOnZl£ME LEÇON.

équation qui revient à

X — a dx

dy

h dy

Or cette relation entre -7-? coefficient angulaire de la tan-

dx

gente à la courbe donnée au point [x^y)^ et 9 coefficient angulaire de la droite MK, montre que ces deux droites sont perpendiculaires entre elles. Donc la droite minimum doit couper la courbe donnée à angle droit.

Si la dislance MK était susceptible d'un maximum, on le trouverait encore par la résolution des équations (1) et (2).

Considérons en particulier le cercle dont Téquation est

dY X

On aura --- = j et la relation (2) deviendra

dx

ou bien« après réduction,

Fig. 10.

Ainsi, pour déterminer x et j-, nous aurons les deux équations

qui, prises simultanément, représentent les points d^intersection du cercle donné avec la droite MO. Alors KM sera la distance minimum, et K'M la distance maximum^

comme ou le verra facilement en considérant les dérivées suivantes.

Mais il se présente ici une singularité que Ton peut rependant expliquer par la définition même des maximums et des minimums.

Supposons que le point donné soit le point N situé sur Taxe des abscisses à une distance a du centre. Le carré de la distance NH sera représenté par l'expression

jr'-t-(a7 a)\

ou bien par

r^ — 2.ax -f. à*.

Or la dérivée de cette expression est une quantité constante (- — 2 a) qui, par conséquent, ne peut être égalée à zéro.' Ainsi, quoiqu'il existe une distance minimum qui est NA, on ne l'obtient pas par notre procédé. Cela vient de ce que, d'après la définition, une fonction est minimum pour une certaine valeur de la variable, lorsqu'elle augmente pour des valeurs plus grandes et plus petites de cette variable. Or, si NH est considérée comme une fonction de x, NA n'est plus un minimum dans le sens que nous venons de dire, puisque cette fonction, réelle pour des valeurs do x moindres que r, devient imaginaire pour des valeurs plus grandes.

Cette fonction est nulle pour a: = ô et pour x= b. Il est clair qu'entre les deux valeurs Q et b^ il y en aura au moins une pour laquelle elle sera maximum; en prenant la dérivée, on aura

/' (x) = maf^' (b — xy — nx^ {ù — x )"-• = af*~^ (b — j-)""' {mb — mx — n.t),

11 faudra donc posej

ce qui donne les trois valeurs

mb ,

A la première correspond un maximum, car la dérivée passe évidemment du positif au négatif quand x dépasse

la valeur •

Si m est pair, à la valeur o correspondra une valeur minimum de la fonction, mais dans ce cas seulement. En effet, pour des valeurs positives ou négatives trèsvoisines de zéro, les facteurs de la dérivée, (b — j:)"~* et mb — (m-l-w)a:, sont toujours positifs, tandis que le facteur x**"* passe du négatif au positif, puisque m est pair : la fonction sera un minimum dans ce cas. Mais si m est impair, aucun des facteurs de la dérivée ne changera de signe, et il n^y aura ni maximum ni minimum.

' On verra de même qu'à la valeur b il correspondra un minimum si n est pair, mais qu'il n'y aura ni maximum ni minimum si n est impair; .

MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS IMPLICITES d'uNB