Soit
y^ — imxy -\- x^ =^ u
une équation qui détermine y en fonction dex. On peut trouver les maximums et les minimums de jr sans la résoudre. En effet, la diflerentiation de cette équation
donne
dr (r — wo:) — — /wj H- X = o,
d'où
djr m y — X
dx y — mx
176 cou AS d'analyse.
Comme les valeurs de x qui répondent à des maximnms ou à des minimums Ae j doivent satisfaire à la condition
djr
on aura ces valeurs en résolvant les deux équations
jr^ — 2 /w jrj -4- j:' = « , x — i»/ = o.
189. Supposons, pour plus de généralité, que l'on ait trois équations entre quatre inconnues :
L'une quelconque des variables, x par exemple, étant prise pour variable indépendante, les trois autres seront des fonctions de celle-ci. Considérons en particulier la fonction 14. Pour trouver les valeurs de x, ainsi que les valeurs correspondantes de y et de z, qui donnent des maximums ou des minimums de u, on observe que, dans le cas ordinaire du maximum ou du minimum, on a
du
dx
D'après cela^ la différentiation immédiate des équations (i) donne, en y regardant j^, z e\ u comme des
fonctions de x et supprimant les termes où entre — »
dx
djr dx dz dx *
. . , ^^ do djr do dz
d^ djr éf\|/ dz
djr dx dz dx
QUATORZIEME LEÇON» JJJ
On élimine ^ et -r- et l'on obtient une équation,
dx dx
qui, jointe aux équations (i), détermine les valeurs de
En différentiant de nouveau les équations (i), on ob*
tiendra -r-y On y substituera les valeurs trouvées pour
x^ y^ z^ w, et, selon que le résultat sera positif ou négatif, u sera un minimum ou un maximum.
L'élimination de — et de — enire les équations (2)
ux ux
peut se faire en ajoutant ces équations mulipliées respectivement par 1, i et //, et choisissant les indéterminées X et /ut de manière que dans le résultat les coefficients
dy dz
de — et de — soient nuls. Ou remplace ainsi les équa-
lions (a) par celles-ci :
df dut «/^!»
± -f- X I ^ a — -^ dx dx dx
^f . dfD d^
dz dz dz
L'élimination de X et de /ix conduit quelquefois plus rapî-
dy , dz -f et de — dx dx
dément à l'équation (3) que celle de — et de -7- entre
les équations (a).
190. Soient à déterminer les maximums ou les minimums d'une fonction explicite Y(x^ j^ z, w), a:, y^ z et II étant des variables liées entre elles par les équations
^[Xy X> h w) = 0,
Stobm. — ^/,., I, 12
IjS COUKS D'ÀWAtYSE.
L'une des variables, x par exemple,, étant regardée comme indépendante, j, z, m, (F, a;, y^ z, u) seront des fonctions de x.
Si l'on joint aux équations (i) la suivante,
on voit que la nouvelle question est un cas particulier de la précédente, savoir celui dans lequel la fonction implicite f', dont on cherche les maximums et les minimums, n'entre que dans une seule des équations (i).
EXERCICES
4. Quel est le plus grand quadrilatère que Von puisse former avec quatre côtés donnés?
Solution. — Le quadrilatère inscriptible.
2. Trouver sur une circonférence donnée un point tel, que la somme de ses distances à deux points donnés soit un maximum ou un minimum.
Solution. — Le point de contact de la circonférence et d'une ellipse, tangente au cercle, ayant pour foyers les deux points donnés.
3. Inscrire dans une sphère donnée un cône dont la surface totale soit un maximum.
Solution. — En désignant par x la hauteur du cône et par r le
rayon de la sphère, on a
4. Circonscrire à une sphère donnée un cône dont le volume soit un minimum.
Solution. — Mêmes notations.
a: = 4r, vol. max. = ^-Trr*.
b. Parmi toutes les paraboles que peuvent décrire des corps pesants partant d'un point donné avec une vitesse donnée, trouver celle qui a l'aire la plus grande.
Solution. — Parabole décrite par un corps lancé dans une direction inclinée de 6o degrés à l'horizon.
QUATORZ[ÈME LEÇON. I 79
6. Parmi toutes les cordes d'une même longueur inscrites dans une courbe donnée, déterminer celle qui retranche le plus grand ou le plus petit segment.
Solution. — La corde doit faire des angles égaux aveô les tangentes menées à la courbe par ses extrémités.
7. Deux roues circulaires extérieures l'une à l'autre sur un même plan tournent uniformément autour de leurs centres fixes, l'une faisant deux tours, Vautre trois tours par seconde. Déterminer les époques et les positions des deux roues pour lesquelles deux points marqués sur leurs circonférences seront à la plus petite ou à la plus grande distance l'un de Vautre,
l8o COURS D^ANALYSE.
