VARIABLES INDÉPENDANTES

191. On dit qu'une valeur particulière et réelle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes y(j',j', z) est un maximum, quand elle surpasse toutes les valeurs voisines de cette fonction , c'est-à-dire celles qu'on obtiendrait en donnant aux variables des valeurs très-peu différentes de celles que l'on considère. On appelle minimum d'une fonction une valeur particulière moindre que toutes les valeurs voisines. La différence

doit donc être constamment négativ^e pour des valeurs suffisamment petites et aussi petites que l'on voudra, de A, h eil, quand /(jc,^, z) est un maximum, quels que soient les signes de /i, k et l] au contraire, cette différence est constamment positive quandf[x^j'^ z) est un minimum. Supposons que la fonction u ==:f{x^y^ z) soit un maximum ou un minimum pour a: = a, j^= i, 2 = c. Si dans cette fonction on attribue à j^et à z les valeurs fixes b et c, et qu'on ne fasse varier que x, elle sera encore un maximum ou un minimum pour :c = a. Par conséquent, il

faudra que, pour a: = a, jz=b, z = c, — soit nulle, infinie ou discontinue. On dira la même cliose de -j- et

de — • Doue les valeurs de x^ j^ z qui rendent u maximum ou minimum se trouvent parmi celles qui rendent

les dérivées -r^ -r'> -r- nulles, Infinies ou discontinues.

ax dy dz

192. En se bornant au cas où ces dérivées sont continues, on peut recourir à la série de Taylor pour distinguer, parmi les solutions du système,

du du du

celles qui répondent à des maximums ou à des minimums. En effet, on a Az^ ou

Or on peut toujours prendre A, A et / assez petits pour que la somme des valeurs absolues des termes qui contiennent /i, A et /au même degré surpasse la valeur absolue du reste R correspondant: d'ailleurs, dans la question qui nous occupe, on doit regarder A, Ar et / comme pouvant être plus petits que toute quantité donnée, et en même temps comme ayant des signes quelconques \ donc : i^ Au doit avoir le même signe que

du ^ du du

a** si Ton n'avait pas à la fois

du du du

di = °' dp = ''' di = °^

/(a:, y^ z) ne pourrait être ni un maximum ni un

minimum, puisque en changeant simplement les signes

de A, k et /, sans changer leur valeur absolue, on change-

. , . y du ^ du. , du j . , •

rait le signe de -rfi'\ — t-a H — j-l, et, par suite, celui

° dx dy dz '- '

i82 COURS d'analyse.

de A<i. Nous retrouvons ainsi les conditions précédemment obtenues (191). .

193. Cherchons maintenant quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que f(x^ y^ ^) s^^' ^^ minimum ou un maximum.

La différentielle totale du premier ordre étant nulle, on aura

ou bien

Admettons d'abord que les coefficients A, B, C, D, E, F, qui, pour abréger, désignent les dérivées partielles du

second ordre, --— > — — ? etc., ne soient pas tous nuls a la

fois pour les valeurs considérées de x^y^ z, c'est-à-dire pour celles qui annulent les dérivées du premier ordre du du du dx dy dz

Si d}u n'est pas identiquement nulle, il peut arriver trois cas : 1° ^* w pourra changer de signe, alors il n'y aura ni maximum ni minimum; 2° d'^u conservera toujours le même signe, alors u sera maximum ou minimum selon que cZ* u sera négative ou positive 5 3° <i* w sera nulle pour certaines valeurs de /z, Âr, /, mais sans jamais changer de signe, alors on ne peut dire, sans pousser plus loin le développement de Au, si la fonction est un maximum ou un minimum.

Nous nous contenterons de chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que d}uo\i la fonction

soit constamment positive, quels que soient les signes de A, Â% /, pour de très-petites valeurs de ces trois quanti lés«

QUINZIÈME LEÇON. l83

Mais comme cette expression est une fonction homogène de A, k et /, en la mettant sous la forme

on voit que, si elle est positive pour de très-petites valeurs de h, /r, /, elle le sera encore pour des valeurs aussi grandes que Ton voudra de ces variables, pourvu que leurs rapports ne changent pas. Ainsi, il sera nécessaire et suffisant que l'expression

A^^ 4- BZ» + C/2 -f- 7. Bhk H- 2 E/f/ 4- 2 FAI

soit positive pour toutes les valeurs réelles de A, k et /.

Observons maintenant que si Tun des coefficients des carrés, A par exemple, était nul, les coefficients des termes qui contiennent A, c'est-à-dire D et E, seraient aussi nuls. En effet, dans ce cas, on a

en posant

P=:2(D^ H-E/j, QrzzBÂ^H-C/'— 2F/7,

P et Q étant indépendants de A 5 si, après avoir donné des valeurs arbitraires à A et à /^ on fait

fi = — ^ -f- a , puis ensuite à = — -— — a ,

^L Mm

1-es résultats de cette substitution seront Pa dans le premier cas, et — Pa dans le second. Donc, si P n'était pas nul identiquement, d^u pourrait changer de signe. Par conséquent, l'égalité A = o entraîne les suivantes :

Il résulté de là que les coefficients A, B, C ne sont pas nuls à la fois; car, s'il en était ainsi, la fonction d*u s'annulerait d'elle-même, contrairement à notre supposition.

i84 couBS d'analyse.

, Supposons donc que A, par exemple^ ne soit pas nul; je dis que A sera positif; car si Ton pose /r= o et /= o, la fonction se réduit au terme Kh} qui, pour être positif, exige que A soit positif. Une première condition nécessaire dans le cas du minimum est donc

Maintenant, on peut mettre d^u ou la fonction kh} -h B^» 4- C/» 4- 2 Dhk + a EA/ 4- 2 F// ^ous la forme

a(a»4-2A "^"^ "^'^M-t-BA'-f-C/^+2FX7,

ou bien encore, en complétant le carré dont les deux premiers termes sont dans la parenthèse,

Si l'on pose, pour abréger,