LONGUEUR DES LIGNES NOMMÉES SOUS-TAKGENTE. ETC
201. Attachons-nous maintenant, en particulier, au cas où les axes sont rectangulaires.
Si Ton veut avoir la sous-tangente S|= PT, on aura
Fig. i3. dx
PT=MPlangTMP=:r-7-;
donc
ydx
On trouve encore la valeur de la sous -tangente en la regardant
comme la lirai le de la sous-sécante, c'est-à-dife de la
droite SP. Or
SP = MP tangSMP = y —,
dx et cette expression a bien pour limite y — •
Le triangle MPN [Jig. Hj p. 190) donne pour la sousnormale PN
rdy
dx
Pour la longueur MT de la tangente, on aura
MT
/ dx^
SEIZIEME LEÇOlï. IQ^
Enfin, pour la longueur MN de la normale, on ar
MN
Exemple.
Supposons, pour fixer les idées, a>i. Cette courbe, Fig. 14. nommée logarithmique, s'étend
à l'infini des deux côtés de l'axe des fj et elle est asymptote à Taxe Ox du côté des x négatifs.
On tire de Téquation / = a',
dx
par conséquent,
Y— j = tf'lfl(X— J?)
est Téquation de la tangente.
Cette tangente peut être construite bien simplement à l'aide de la sous-tangente TP5 on a
dx d,v I
djr djr a'ia
ou
TP = 7- = loge.
Ainsi la sous^tangente est constante et égale au logarithme de e pris dans le sjstème dont la base est a^ c està-dire au module de ce système. Quand a = e, la valeur constante de la sous-tangente est l'unité.
degré de l'équatiow de la takgewte.
202. L^équatron de la tangente menée par le poiiit (jr, j^) peut être mise sous la forme
df^ df^ df df
dx dr da: djr
Stcrm. — j4n., î.
194 COURS d'awaltsk.
Si réqualîon delà courbe est algébrique et du m^"^' degré, il semble au premier abord que ^ ^ -H ^ jasera une
fonction du m'*"" degré des coordonnées du point de contact. Mais ce degré s'abaisse d'une unité quand on tient compte de l'équation y' (x,j') = o.
En effet, soit
/(ar, j^) = « -I- w, -4- «2 H- . . . ,
H étant l'ensemble des termes du m*'"" degré, ii| l'ensemble de ceux du (m — i)'*"*', et ainsi de suite. On aura
dx
du ' dx
dui dx
dui dx
df
du
"dr
dUi
dr
dUi
dy
d*où
df df du du
dx dy dx '^ dy
l dut du\ (
dui
dx
ce qui, d'après un théorème (n° 178) sur les fonctions homogènes, donne
df df / X / X
dx dy ^
= /w(tt -4- tti-h aj -+-...) — «I — 2a,— 3^3 — ....
Or, le point (x, y) étant sur la courbe, on a
/?i(a-|-«i-ha, 4-...) = o;
donc l'équation de la tangente devient
-/x-i--rY -f-a, -i- 2£f,-h3«3 + ... = o,
et ne contient plus de termes du m^^"*^ degré : ce qu'il s'agissait de démontrer.
Exemple.
A J-' -H ^xy -f- Cj?» 4- D/ -H Ejt 4- F = o.
SEIZIÈME LEÇOir. IqS
On a
dx 2A/4-BX-+-D
Il vient donc, pour Téquation de la tangente,
(2Aj -+- Bot + D)(Y — ^) -4- (B/ + 7,Zx -h E)(X — x)=:o,
ou
(2Aj -h Bx -f- D) Y -4- (Bj + 2Car -4- E) X
= (2A j -f- Bx + D) jr -h (Bj -H 2Ca: -f- E)ar.
Simplifiant au moyen de l'équation de la courbe, on a finalement
(2A/ + Bx-4-D)Y4-(Bjr4-2Ca:-l'E)X-f-Dj^4-Ejr4-2Fr=:o,
pour Téquation de la tangente au point (^> J^).
