CIX

par conséquent, dans ce cas, la différence M' P' — P'R, pour un point M' de la courbe, suffisamment rapproché,

soit d^un côté, soit de Tautre, du point M, aura le même

d'X sig"eque— .

Donc, si l'on a

les ordonnées de la courbe sont plus grandes que celles de la tangente dans les environs du point M, de part et d'autre de ce point. Si, au contraire, on a

les ordonnées de la tangente surpassent celles de la courbe. Dans le premier cas que représente la^Zg^. i5, la courbe, aux environs du point M, est dans l'angle obtus MTx' que forme la tangente MT avec l'axe des abscisses; on dit alors que la courbe tourne, au point M, sa convexité vers

Fig. i6.

ig8 COURS d'analyse.

Taxe des abscisses, ou qu'elle est convexe vers cet axe. Cette circonstance est donc indiquée par l'inégalité (i), du moins tant que Tangle des axes ne surpasse

pas 90 degrés; car si Cet angle était obtus et plus grand que l'angle formé par la tangente avec l'axe des j:, comme on le voit dans \^fig* ^6, les ordonnées de la courbe seraient encore, de part et d'autre du point M, plus grandes que celles de la tangente, et cependant on ne pourrait pas dire, dans ce cas, que la courbe est convexe vers l'axe des x*

Dans le second cas, que représente \^fig'i']j la courbe

est, de part et d'autre du point M, dans l'angle aigu formé par la tangente MT avec l'axe Ox.

On dit alors que la courbe, au point M, est concave vers l'axe des abscisses, ou qu'elle tourne sa concavité vers cet axe : mais l'inégalité (2) n'indiquera sûrement cette circonstance que si l'angle des axes est moindre que 90 degrés.

Ce qu'on vient de dire suppose que l'ordonnée du point M est positive. Quand ce point est au-dessous de l'axe des abscisses, la courbe, comme on le voit aisément, est convexe ou concave vers l'axe des abscisses suivant que Ton a

- <* o ou "> o.

En résumé, selon que y et -— sont de même signe

(JLX

OU de signes contraires, la courbe est convexe ou concave au point M vers l'axe des abscisses, si Fangle des parties positives des axes n'est pas plus grand qu'un angle droit. Dans le cas où cet angle est obtus, on changera le

SEIZIEME LEÇOn. . IP9

signe de Tune des coordonnées, ce qui rendra aigu4'angle des coordonnées positives, et l'on appliquera la même règle.