PLANES
Différentielle de Taire d'une courbe plane. — Des aires considérées comme limites d'une somme de parallélogrammes. — Applications. — Rectification d'un arc de courbe plane. — Différentielle d'un arc de courbe. — Limite du rapport de l'arc à sa corde. —Nouveaux théorèmes sur les arcs de courbe considérés comme limites.
Fig.
DIFFÉRENTIELLE DE l'AIRE D^UNE COURBE PLANE.
207. L'aire comprise entre une courbe plane CM, une ordonnée fixe CA, une ordonnée quelconque MP et
l'axe des abscisses Ox, est une fonction de l'abscisse OP == x du point M, puisqu'elle varie quand on change le point P. Proposonsnous d'en chercher la différentielle. Soit CAMP = u. Nommons Ali la surface MM'PP', répondant à un accroissement très-petit PP'=Aj: de l'abscisse. Si l'on mène les droites MI et M' K parallèles a Ox' et terminées aux ordonnées MP et M'P', comme on peut toujours prendre le point M' assez rapproché du point M pour que les ordonnées soient constamment croissantes ou décroissantes de M en M' (et ici, pour fixer les idées, nous les avons supposées croissantes), on aura
Pi\IM'P'>PMIP' et PMM'P'<PKM'P',
c'est-à-dire
Am]>>^Aj: et Am <^(j -h Aj)Aar,
ou
Au
J< — <r-+- Aj.
De là, en passant à la limite,
du
-p-rrrr, OU du:=:y£ÎX,
dx
208. Quoiqu'on puisse parfaitement admettre qu'en prenant le point M' assez voisin du point M les ordonnées seront toujours constamment croissantes ou décroissantes de M en M', celte hypothèse n'est pas nécessaire à la démonstration.' Il suffit pour s'en convaincre de reprendre les raisonnements en remplaçant partout y et y -\- Ly parj^i etj^j,j^i étant la plus petite etj^, la plus grande des ordonnées, dans l'intervalle où l'on fait varier l'abscisse.
209. Le même mode de démonstration convient au cas des axes obliques, avec cette seule différence que l'accroissement Aï/ est alors compris entre les aires de deux parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux axes, et comme l'aire d'un parallélogramme est égale au produit de deux côtés adjacents multiplié par le sinus de l'angle qu'ils font entre eux, on a, 0 désignant l'angle des axes,
du-=zydx^\xy^,
DES AIRES CONSIDÉKÉES COMME LIMITES d'uNE SOMME
DE PÀKÀLLÉLOGRÀMMES.
210. Dans le cas des axes rectangulaires, la surface ABCD est la limite d'une somme de rectangles intérieurs,
formés en menant par les points C, E, F, . . . , M, M', etc., pris sur la courbe, des parallèles à Ox telles, que chacune soit terminée à l'ordonnée du point suivant (l'un de ces rectangles serait, par exemple, MIP'P), et Ton suppose que ces
points se rapprochent indéfiniment les uns des autres, en même temps que leur nombre augmente sans limite.
Supposons d'abord que les ordonnées soient constamment croissantes du point C au point D. Soient x et y les coordonnées de Fun quelconque des points de la courbe, M par exemple; soient jt-H-Ax, j'-h^J' les coordonnées du point suivant M', On aura
et si Ton désigne par ^(j/^x) la somme de tons les termes analogues à y^x^ c'est-à-dire la somme de tous les rectangles intérieurs de CA à BD, en posant surf ACDB = zi on a évidemment
Maintenant, si l'on mène, par chacun des points considérés sur la courbe, des parallèles kOx^ terminées aux ordonnées des points précédents, on formera des rectangles extérieurs analogues à
PKM'P' = (/ 4- A/) Ax =/Aj? -t- Afàx;
et comme ÂBCD a une surface plus petite que la somme de ces rectangles, on a
u < 2(jAx) -h ifAjAx);
par conséquent,
Mais comme, à mesure que le nombre des divisions augmenté, A^ tend vers zéro, il résulte d'un principe démontré (16) que £(Aj^ Ax) tend aussi vers zéro : donc
u=i\im[l{xAx)].
On démontrerait de même que li est la limite de la somme des rectangles extérieurs.
Le raisonnement reste le même lorsque les ordonnées sont constamment décroissantes depuis C jusqu'à D\ le
DIX-SEPTIÈME LEÇOW. 2o3
théorème que nous venons de démontrer est donc vrai quand les ordonnées varient d'une manière quelconque, car on pourra toujours partager Taire totale en parties dans lesquelles les ordonnées soient assujetties à con-^ stamment augmenter ou diminuer.
APPLICATIONS
21L 1° Soit
l'équation d'une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet. • Si surf OMP = il, on a
du =zydx =. sjipx . dx •=. ^llp,x^ dx.
Or,
Doue
x^ ,dx •=. --d,x^ •
du r=: -\Jipd,X^ 1= rff - sjnp .X^ 1
De là il suit que
Fig. 21,
mais, pour a: = o, on doit avoir tt = o ; on a donc C = o, et
« = -^ )/2pX X ^ = o ^^ î
c*est-à-dîre que le segment OMP est égal aux deux tiers du rectangle OPMQ.
Il est également facile d^évaluer la surface comprise entre un arc MCM' de parabole et sa corde. En effet, si Ton mène la tangente GT parallèle à MM', et, par le point de contact C, le diamètre CDL, on trouvera par la même méthode, en posant CD = j?, MD^i^j* et
so4 TCL = 0,
surf CMD z=^xysin9 = ^ CDMT,
surf MCM' = \xy%\ii9 — -^ MTSM'.
oP Soît^cy = m' réquation d'une hyperbole rapportée
à ses asymptotes. Nommons u Taire du segment ACMP,
Fig, 22. compris entre la courbe, Ta-
symptole Ox, l'ordonnée fixe CA = m, et l'ordonnée variable MP. On aura
dx du r= y sm^dx r=: m* sin ô —
z= m^sïnBd.lJs,
Donc M et m'sinô.lx ne peuvent différer que par une constante C^ par conséquent,
u ~- m^sïnQAx -f- C.
Pour trouver C, faisons x = OA == m; on aura
« = 0 ou o = w'sinô.l/w -i- C;
donc
C= — w'sinO.l/Tî,
et, par suite, on aura
U =z w'sinô.lx — m^s\nQ.\m=: m'sinO.l ( — ]
Si Ton avait m = i et 0 = 90 degrés, l'hyperbole serait équîlatère, et Ton aurait « = Ix, c'est-à-dire que les aires considérées seraient les logarithmes népéiiens des abscisses correspondantes.
DIFFÉRENTIELLE d'uN ARC DE COURBE.
212. On ne peut se faire une idée nette et précise de la longueur d'une courbe qu'en nommant ainsi la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite
DIX-SEPTIÈME LEÇON. 2o5
dans cette courbe, lorsque ses côtés sont de plus en plus petits, et que» leur nombre croît jusqu'à l'infinî. Il devient alors nécessaire de démontrer que ce périmètre a réellement une limite déterminée dans tous les cas. Soit CD un arc de courbe plane, rapportée à deux
axes rectangulaires O j: et Oy, Inscrivons dans cet arc un contour polygonal CEF...M]Vr...D; soient OP = x, MP =y les coor- ^données du sommet M, et X'+'Axyj-h^y celles du sommet suivant M' : on a
Fijj. 23.
Si l'on faisait ùx ou PP'= o, — deviendrait -r-- On doit donc avoir
vMSr=\/-(£)
a s'évanouissant avec Ax; par conséquent,
MM'=:Aa:i/n- (-^j -t-aAx.
En remplaçant successivement, dans cette équation, xeiy par les coordonnées de tous les sommets du contour polygonal, depuis le point C jusqu'au point D, on aura les longueurs des côtés correspondants. De là résulte, si l'on appelle P le périmètre de cette ligne brisée.
Pour avoir la limite de P ou la longueur de Tare CD, re-
ao6 C0UR5 d'awalysk.
marquons d'abord que, a étant une quantité infiniment
petite et ^ £^x ayant une valeur finie qui* est AB, il résulte du théorème démontré au n° 16 que
lira ^1 (aAx) = o.
Maintenant
i/ j -f- ( -7- 1 est une fonction de a:, que
l'on peut regarder comme la longueur de l'ordonnée NP d'un point N répondant a la même abscisse x = OP. Sî Ton fait la même construction pour tous les points de la courbe CD, on aura une courbe GNH, dont l'équation est
d'après cela, on 'a
et, par suite, à cause de lim V (a Aa:) = o,
P — lim2)(YA*).
Or 51 (^^^) * ^^® limite déterminée qui est l'aire AGNHB. Ainsi le même nombre exprime la longueur de TarcCD et l'aire AGNHB.
213. Considérons maintenant rabscîsseOP=x comme variable. La longueur de l'arc CM est une fonction de x dont on peut chercher la différentielle.
Soit donc CM = i; comme s = aireAGNP, on a
ou enfin
rf, = Yrfx = rfxy/.+ (^)':
ds=z sjilx'^ -h df\
D1X*SBPTIÈUE Z^EÇON. QO7
Cette valeur de ds permet d'exprimer très-simplement le sinus et le cosinus de T angle que la tangente au point M fait avec Taxe des x. En effet, si a désigne cet angle, on
a tangtx = -—' Par conséquent,
dy dy dx. dx
sina = — = --J-» . ces à = — = -7- •
s^dx^^dy^ ^ ^dx^-hdy^ «*
LIMITE nu RAPPOB.T DE l'aRC A SA CORDE. — NOUVEAUX THÉORÈMES SUR LES ARCS CONSIDÉRÉS COMME LIMITES DE POLYGONES.
214. La limite du rapport d^un arc quelconque à sa corde est V unité.
En effet, considérons un accroissement quelconque de l'arc CM (Jîg. 23, p. ao5). Soit MM'= A5, on aura
arc MM' A 5 A-r
