MM

\/Ax'-h Aj^ . /. . ( ^rV

Aor

Lorsque Ax s'annule, -—^ et i/ 1 4- (-^ ) deviennent

donc

,. arc M M'

21 S» Si ce/*. » .rfest un contour polygonal d'un même Fig. 24. nombre de côtés que le contour

CEF . . . D ^ si, à mesure que les sommets C, E, F, . . . , se rapprochent de plus en plus, les côtés ce, e/*, etc., tendent de plus en plus à devenir égaux aux côtés correspondants CE, EF, etc., en même temps que le nombre de ces côtés va en augmentant jusqu'à

2o8 COURS d'analyse.

Tinfini, le contour polygonal cef. . . d aura même limite que le contour CEF. . .D, c'est-à-dire la longueur de rare CD.

En effet, soient a, p, y,,*»? ^ les côtés du contour polygonal cef,,,d^ et «', (3', y', ... , X' les côtés correspondants du contour CEF ... D. Appelons L la longueur de cef.,,d

et L' celle de CEF. . .D. Soient -7 le plus petit et -7 le

plus grand des rapports entre les côtés correspondants des deux contours polygonaux. On sait que la valeur du

rapport

«H-p-f-7 -h. .. -hX

est toujours comprise entre -7 et — » c'est-à-dire que l'on a

Or, lim — = I et lim — = i . Donc Iim -7 = 1, ou

limL = limL'.

216. Voici encore un théorème du même genre, et que l'on démontrerait d'une manière analogue : Si Ton mène entre les deux ordonnées extrêmes CA, DB un nombre indéfini de parallèles à l'axe des j*, puis que l'on inscrive entre ces parallèles d'autres lignes droites, tangentes à la courbe, la somme de ces dernières tend vers une limite qui est encore la longueur de la courbe donnée, même quand elles ne forment pas une ligne brisée continue.

DIX-nUiTlÈME LEÇON.