MAJ

Or

2rsin'-AÔ

r ^ 1- * *!/ ai 1- arcMM'

lim =z o, limAM'M = a, Inu -^.,..- =1:

Af ' MM'

ai8

donc

CCS a

dr ds

Pour la

même raison,

CCS 6

dr'

" ds

Par suîle, on a

ces a

dr

ces 6

dr^'

ce quidétermiue la tangente MT.

226. En prenant les deux foyers d'une ollîpse pour points fixes, Téquation de cette courbe sera

De là on lire dr -\- dr' = o; d'où -r-* = — i • donc

dr

ces a

ces 6

ou

ces a = — cos6.

Donc les rajons vecteurs d^un point de P ellipse for^ ment ai^ec la tangente^ d*un même côté de cette droite y deux angles supplémentaires.

On trouverait de même, pour l'hyperbole, cosa = ces 6. Pour une courbe dont Téquation serait rdt mr*=a9 on aurait cosa = =p m cosS.

1 . Une courbe est donnée par une relation entre les distances r et r' de cliacun de ses points à deux points fixes. Trouver V expression de la différentielle de son arc en fonction des distances ret r^ et de leurs différentielles. Application aux sections coniques.

Solution.

^rr'[rr'(dr''irdr'^) - (r^-\.r'^ - a^)drdr''\

~~ (r-\-r'-Jra)[r-^r'—a)[a'\-r — r') (a-f-r'— r)*

a désigne la distance des deux pôles.

DIX-HUITIÈME LEÇOJN. 219

2. Une courbe est donnée par une relation entre deux angles 6 et 0' que les droites menées d^un point quelconque M de cette courbe à deux points fixes A et B font avec la droite AB. Déterminer la tangente à cette courbe et exprimer la différentielle de son arc en fonction des angles 0 et B' £t de leurs différentielles.

Appliquer les résultats à la courbe décrite par V intersection de deux droites mobiles qui tournent autour de deux points fixes avec des vitesses de rotation uniformes,

Solution. — Si fi et p' désignent les angles que la normale fait avec les rayons vecteurs MA et MB, on aura

sin'fA + sin'/x'— asinp. sinft'cos(ÔH-O') — 8in*(0 + O') = o, ds= -r-Y^I^-^v^Sn^Ô^^ôH^siË^

Dans le cas particulier, n et /?' étant les vitesses angulaires des deux

mouvements, on a

sin f* n sin 9'

sin p' ~ n' sin 9

3. Les ovales de Descartes, représentés en coordonnées bipolaires

par les équations

r -f-/ir'=a,

r' — nr =6, S3 coupent à angle droit, quels que soient a et 6.

2ao