COURS B ANALYSE

Il en résuhe

NN'

a étant une quantité qui devient nulle en même temps que h. Je dis que, dans les environs du point M, la courbe MN' qui remplit les conditions (a) approche plus de MN que toute autre courbe MN'' qui ne les remplirait pas toutes.

En effet, soxij" = ^[x) Téquation de MN'', et supposons que les ni premières dérivées de j " soient égales aux m premières dérivées dej^^ m étant moindre que n : on aura

o étant une quantité qui devient nulle en même temps que h. Il résulte de là que

INN" (w-4-2){/w-f-3)...(«-f-i) d"'^W d"'+y

dx^^ ~~ dx'^-*-'

Or, comme h décroît jusqu^à o, a et S tendent de plus en plus vers celte limite^ il s'ensuit que, lorsque h esi

assez petit, le rapport -——7 est sensiblement proportionnel

à A"~"*, et, par conséquent, peut devenir plus petit que toute quantité donnée, puisque n est plus grand que m. Si l'on convient de dire que ies deux courbes MN' et MN ofit un contact de r ordre tz, et par suîte que les deux courbes MN et MN" ont un contact de l'ordre m, les résultats auxquels nous venons de parvenir peuvent s'énoncer en disant que, par un point commun à deux courbes qui ont un contact de r ordre /i, on ne peut faire passer entre ces deux courbes aucune autre courbe ayante ai^ec Vune des deux proposées y un contact d^un ordre inférieur au n""*'.

DIX- NEUVIEME LEÇOTï.