DES AXES

229. U ordre du contact est indépendant de la direction des axes^ pourvu que l'axe des ordonnées ne soit pas parallèle à la tangente commune aux deux courbes.

On pourrait démontrer ce théorème en employant les formules générales de la transformation des coordonnées, et faisant voir que les dérivées des ordonnées des deux courbes sont encore égales dans le nouveau système d'axes jusqu'au /i**'"* ordre, si n él^it Tordre de contact dans le premier système. Mais on peut y parvenir plus simplement par des considérations géométriques.

Soient CMN, C M'N' les deux courbes tangentes en M. PI 3/ Par le point M menons une

droite quelconque M/i'', mais différente de la tangente au point M. Son équation sera

y" z=z ax -^ b.

Soient

r—/(x), y=zçp(x)

les équations des deux courbes. Considérons les ordonnées de ces trois lignes correspondant à un point N pris

sur ia première*, on aura encore

NN'

et puisque, par supposition, la droite menée par le point * M est différente de la tangente,

dx dx / \ dx

Par suite.

(NiN*')

û-hS

i.2.3.rf .(« H-i)

224 COURS D^ÀNALTSE.

Or, quand li tend vers zéro, , a et S tendent aussi vers

NN' zéro. On voit donc que le rapport „ tendra vers

une limite finie.

On peut donc dire que si le contact est dli 7^*""' ordre,

NN' le rapport ^^—7; sera un infiniment petit du /2'''"' ordre.

La réciproque est d'ailleurs évidente.

230. Supposons maintenant que Ion rapporte la courbe à d'autres axes; par le point N menons une parallèle au nouvel axe des y. Soient n' le point où celle parallèle coupe la courbe j' = tp (x) et n" le point où elle coupe la droile M/2''. Pour démontrer que Tordre du conlacl ne