Soît

(i) *(ar,/, «, ^, c,..., /)=:^o

une équation renfermant n + i constantes arbitraires, a^ b, c^..,y ly et qui, suivant les valeurs attribuées à ces constantes, convient à une infinité de courbes différentes. On peut disposer des indéterminées a, i, c,..., /, de manière que la courbe (i) ait un contact d'un ordre déterminé, du n"*"' au plus, en un point donné (or, j^), avec une courbe doiïnée par Téquation

Si le contact est du /i"*' ordre, les n-^i conditions suivantes seront remplies >

(a) y = jr^

tiy dy rf»y d^r

dx

dx dx^

dx'

DIX-ME»yi£ME LEiQOiy. O^^

On obtiendra -r-j -r^v» —; — » en différentiant n fois

fte dxr dr"

de suîie réqualion (i), et -j-? ZTï'*""' TT^ ^^ différen-

tîant n fois de suite Téquation (a)* Les zi -f- 1 équations (a) détermineront les » -I- 1 constantes inconnues, a, i, c, . . . , en fonction des coordonnées du point de contact et des coefficients de l'équation (2).

Quand on détermine les constantes a,, J, c, . . . ^ /, de manière à obtenir le contact de l'ordre le plus élevé possible, qui est éga] au nombre des constantes moins 1, on dit que parmi toutes les courbes de même espèce représentées par Téquation (i) celle qui répond à ces valeurs des constantes est osculatrice à la courbe j^ =iy(.r).