Comme première application, c(!>f3sidéro»n5 la droite
(i) y — ax-f-^,
et la courbe j^ =y(a:).
L'équation de la droite ne renfermant que deux constantes arbitraires, on ne pourra établir qu'un, contact du premier ordre. Il faudra pour cela satisfaire aux deux équations
y=y et -^ ou a = -.
Si l'on remplacej^'par j^ dans Téquation (i), on aura
^ — aa: -h 6,
d'où l'on tire
ax
L'équation (i) deviendra alors
ce qui ot bien réqnaiioa de la. lauréate au point (x^ jr).
COUnS D ANALYSE,
DU CERCLE OSCULATEUR.
234. Appliquons encore les mêmes considérations au cercle. Soit en coordonnées rectangulaires
Téqualion d'une courbe. Puisque l'équation générale du cercle contient trois constantes arbitraires, le cercle osculateur sera celui qui aura avec la courbe donnée un contact du second ordre. Soit donc
l'ëqualion de ce cercle inconnu.
On en tire par deux différentialions successives
Comme on doit avoir
dy' dr dW dW
dx-
dx dx^
dx^
si l'on remplace dans les relations (i), (a) et (3)^', — i
d^f . dy d^jr .,
--rj'i respectivement par j, —-•> ^-y» on aura pour déterminer Ç, yj, p les trois équations
(4) {x-^^Y^{y^rtY^p\
dy'
^^1[^^iy--)'û=^^
X Qi jr étaui les coordonnées du point de contact.
DIX-KÈUVIÈME LEÇON. OlIQ
On tîre de ces équations :
cta^ ^ dx \ dx
dx^ dx^
et enfin
/dyy y djo^j /d^Y ' •
d'où
H-y ' dû
fy^\
Ix'l
d'y dx^
235. Le numérateur de cette expression étant positif, il faut prendre le signe + ou le signe — suivant que
— -^ est positif ou négatif, si Ton veut avoir la valeur absolue de |&.
d^y L'équation (6) montre que Yi — J'^^~r~^ sont toujours
de même signe. Comme n — ^est la différence entre l'ordonnée du centre du cercle et l'ordonnée du point de contact, il en résulte que le centre du cercle osculateur est toujours dans la concavité de la courbe.
La courbe et le cercle osculateur ayant la même tangente, le centre du cercle osculateur est sur la normale à la courbe au point (x^y) ; on peut encore le conclure de Téquation (5) mise sous la forme
(^) r=l'dJc-^'^
d'où résulte que la droite dont le coefficient angulaire est
z9 c'est-à-dire la droite qui unit le point de contact
23o cocus d'analtsb.
au centre du cercle osculateur, est perpetidicnalaîre à la tangente commune.
Le cercle osculaieur ayant avec la courbe un contact du second ordre en général, par conséquent d^ordre pair, il s'ensuit qu'il traverse la courbe, excepté en certains points particuliers où le contact est d'un ordre supérieur au second. Dans ce dernier cas, si le <îontact est d'ordre impair, la courbe et son cercle osculateur sont du même côté de la tangente commune.
On appelle souvent le cercle osculateur cercle de courbure ^ son centre et son rayon centre et rayon de courbure. Nous en verrons plus tard la raison.
Fig. 37.
