COURBURE DES COURBES PLANES

Expression du rayon de courbure quand la variable indépendante est quelconque. — Application aux coordonnées polaires. — Théorie de la courbure des courbes planes. — Identité du cercle de courbure et du cercle osculateur. — Applications.

EXPKESSlOrï DU RAYON DE COURBURE QUAND LA VARIABLE INDÉPENDANTE EST QUELCONQUE.

257. En prenant x pour variable indépendante, nous avons trouvé

Supposons maintenant que x et ^ soient fonctions d*une autre variable f, et cherchons, dans cette hypothèse,

dY Texpression de p. On sait (92) que -j- conserve la même

iornie, et que -—^ doit être remplace par -^ — ■ — •

On aura donc

dxd^y — tiyd^x

ax^

OU bici

" dxd'^y — dyd^x

expression dans laquelle les différentielles de x et de jr sont prises en regardant t comme variable indépendante-

VIKCT-DEUXIÈME LEÇON. ^53

Exemple. — La cydoïde esi reproseiilée par l'ensemble des deux équations

x = a[u — sin//), ^r=a(i — cosu).

De là on déduit, en prcftant it pour variable indépendante,

{fy = a s\n li (lu , d'^y = a <*»>s // <///'.

Par conséquent,

dx^ -f- dy^ = (i — 2 cosM -4- cos'« -f- sin'a)û'r/tf% dxd^y — dyd'^x =z [cosu — cos'w — sm* u)a^du^,

ou

dx^ -\~ djr^ =2(1 — ces // ) flf' du^y dxd^X — dyd'^x:=z — (i — cusajrt'r/M*.

Par suite,

|(i — cosw)^ rtr' /'///» r-, 1

-J-. \ =2«V2(l— -COS«)'«

Donc

t — cos « = — a

p =rz 2fl y 2 i / - = 2 s/iafi