EXPRESSION DU RAYON DE COURBURE EN COORDONNÉES

POLAIRES

258. La formule (i) conduit à l'expression du rayon Pig^e, de courbure au point M, en

fonction des coordonnées polaires de ce point. Pour cela, menons par le pôle deux axes rectangulaires Ox et Oy. Soient

a:OA=:«, OP=zx, MP=:xj,

ou =: r, MOA = e,

2 54 cou as D^AVALYSE.

on aura

j7=:rcos(ô — a), /=rsin(9 — a),

ou en posant, pour abréger, Q — a = 0',

De là on tire, en observant que dO^ = dO^

dx =: dr cosB' — /-^ôsinô', dxz=dr sin 6' -f r^/0 c6s0', d^x = d^rcosB' — 2 </r//9 sinô' — r^/0»cos9', d^X = d^rs\nB' -h 2 drdB coiB' — rdQ^sïnB*. On aura donc

dx^ H- flTj' == ^^z"* cos» 0' -I- r» sin' B' dB' -h dr^ sin' B' -f- r^ cos' 0' r/G» = ûfr» (sin' 0' + cos' 9') -4- r'dB'{s'\n^ 0' + cos»9'),

et, toutes réductions faites,

(2) dx^ 4- dv^ z-z dr^ -4- /'r/O».

De même,

dxtPj' — dydKT

= (t/rcos0'— /Trf0 sin 0') (fi^Vsin 0' -+- 2^rr/0 co3 0'— rr/0^ sin 0')

— {r/rsin0'-4-rflr9cos0'j(^Vcos0'— 2^rr/0sin0'— A^02cos0')

= û?V(^rsin0'cos0'— /d/0sîn'0'— </rsin0'cos0'— rt/0cos'0')

H- 2r/H(rf0co5»9V- ^/0sin'0') + r^(sin»0'r/0'+cos»0'rf03),

ou, en simplifiant,

(3) t/xrf'j — dfd^x — Tidr'dB — rdBd'r -h r^dB\

Substituant les valeurs {2) et (3) dans la formule (i), on obtient

{dr*-hrdB'V