DE LA COURBURE DES COURBES PLANES
261. On doit considérer la courbure d'une circonférence comme étant la même en tous ses points, et d'autant plus grande que son rayon R est plus petit, ou que
la valeur inverse — est plus grande. Il est donc naturel de
prendre — pour mesure de la courbure du cercle.
On conçoit mieux cette déGnition si l'on considère uil- Stcru. — jin,^ I. I y
^58 COURS o'aihàltse.
cercle tangent à une droite en un point, et que Ion éloigne de plus en plus le centre sur la perpendiculaire à cette droite en ce point. Le cercle moLile, dans une de ses positions, sera compris entre la droite fixe et le cercle précédent, el, par conséquent, il-s'approchera d'autant plus de la droite que son rayon sera plus grand.
Soient MT et M'T' deux tangentes à une circonférence
dont le rayon MR est égal à R, et soit HIM' = Cl). On aura
Fijj. 48.
arcMM'rrrRw,
puisque l'angle MKM' est égal à HlM'î donc
R arc MM'
Ainsi la courbure d'un cercle est égale à Tangle de deux tangentes divisé par l'arc compris entre les points de contact.
262. Considérons maintenant une courbe quelconque CMM'U. Cétant un point fixe pris sur cette courbe, soient CM = 5, MM' = A5-, T l'angle MTor, t' l'angle M'T'x, formés par les tangentes MT et M'T' avec Ox, et At la différence de ces angles, c'est-à-dire l'angle HIM'.
Si la courbe était une circonférence de cercle, — serait
As
Fig- 49' sa courbure au point M, et ce
rapport serait indépendant de
ùkS, Quand la courbe est quel-
conque, le rapport —5 qui varie avec A5, est appelé la courbure moyenne de l'arc MM', et l'on nomme rayon de courbure moyenne le rayon d'un cercle dans lequel les tangentes
VINGT -DEUXIÈME LEÇON. sSq
menées aux extrémités d'un arc égal à As font entre elles un angle égal à A t. Le rayon de ce cercle est —
Supposons maintenant que le point M' se rapproche Indéfiniment du point M : le rapport — convergera vers
dr
—5 qui sera dit la courbure de la courbe au point M.
Concevons un cercle ayant la même courbure, et soit p son rayon : on aura
I dr ds
p ds ' ûfT
Si Ton prend sur la partie intérieure de la normale une longueur MK = p, le cercle décrit du point R comme centre avec MR comme rayon sera le cercle de courbure^ le rayon et le centre de ce cercle seront le raj on et le centre de courbure correspondant au point M.
On appelle angle de contingence l'angle dr formé par les tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment petit. On peut donc dire que la courbure d^une courbe en un point est égale à V angle de contingence dii^isé par la différentielle de Varc.
