Pour obtenir les équations de la tangente menée à

une courbe par un point M, nous chercherons d'abord les équations d'une sécante MM'. Soienl x^ j^ z les coordonnées du point M, et Jc -t- Ax, j -h Aj, 5 -h A -2 celles du point M'. Les équations de la sécante MM' sont

Fig. 52.

Ajr

Az

X, Y, Z étant les coordonnées courantes.

Or, si le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM' devient à la limite tangente à la courbe

au point M, les coefficients angulaires —t -^^ tendent

vers — et — » et l'on a les équations de la tangente,

où -j- et — sont les dérivées de ^ et de -s par rapport

à j:; en les divisant membre à membre, on a l'équation de la projection de la tangente sur le planez,

La forme de ces équations montre que la projection de la tangente sur chaque plan coordonné est tangente à la projection de la courbe sur ce plan, ce qui résulte d'ailleurs de ce qu'au moment où le point M' se réunit au point M, le point P' se réunit au point P.

270, Les coefficients différentiels ~- et --- s'obtiennent

ax dx

par la différentiation des équations (i) et (2), qui donne

df ^ df dy df dz

^ dx ' dy dx ' dz. dx (a) <

(dff. dfsf dy d<f dz dx dy dx dz dx

dy

En tirant de ces deux équations les valeurs de ~- et

dz

3~' et les substituant dans les équations («), on aurait

les équations de la tangente. Mais il revient au même

d'éliminer -~- ei — entre les quatre é<|uatîons (a) et (a). Or, de (ûf) on lire

éf or X — X dx X — X Substituant ces valeurs dans les équations (a), on a enfin

On obtient donc les équations de la tangente en remplaçant, dans les équations différentielles,

— dx -^ --■ df -h -^ clz =: o, dx dy dz

dfû d^ aep

-L dx -\- -^ dy -^ -r dz^=0^

dx dy dz

les différentielles dx^ dy et dz par les différences X — jr,