Prenons, d'une manière arbitraire et en nombre

quelconque, des points E, F, . . . , M, M', . . . , sur Tare de

^*ff' ^'i- courbe CMD,elconsidérons

le polygone gauche CEF...

MM'...D, inscrit dans Tare CMD. Je dis que le périmètre de ce polygone tend vers une limite déterminée quand ses sommets se rapprochent tous indéfiniment les uns des autres, en même temps que leur nombre augmente jusqu'à Tinfini*, après l'avoir démontré, nous conviendrons de prendre cette limite pour la longueur de Tare CD,

Soient donc x,^, z les coordonnées de l'un quelconque des sommets M, et x H- Ax, j-^ùiy^ z -{- J^z celles du sommet suivant M'^ on a

MM'= */Ax'-+- Ajr' -^ Az^ r= Aj: i/l -h f^j

Az^ »

ayo COURS d analyse.

Donc, si nous désignons par P le périmètre du polygone, on a

Si Ax décroît jusqu^à o, -— - et — tendent vers -7-

Aj7 ^jc dx

» pt l'nn npiif prrîrp dx

et — > et 1 on peut écrire

v/-(^)'-œ)'=\MiHS)'--

a étant une fonction qui s^annule avec Ax, De là résulte

Mais, d'après un principe démontré (n^ 16), on a

limy^ (oL^x) •=. o, donc

Supposons maintenant que x soit la variable indépen-

dante; alors g, J et y/.+ ^|y+ (£)'' pouvant

être regardés comme des fonctions de x^ considérons, dans un système de coordonnées rectangulaires, la courbe e/*, qui a pour équation

^v/-fê)

dz\'^ dx

Soient Og' = a, O/i = è -, on aura, en supposant que x

VIMGT-TROISIÈME LEÇOW .

varie depuis «jusqu'à è,

an

Fig. 55.

Or y] (YA.r) a pour limite Taire

c/g^A : donc la limite de P et l'aire efgh sont exprimées par le même nombre. C'est ce nombre qui représente la longueur de l'arc CD.

275. Soit maintenant arc CM = 5. Si Oq = x^ on aura numériquement

arc CM = aire emqg; par conséquent

dszzz d (aireemgg) = dx i / ï + ( ;7- )

dz dx

ou

ds = \ldx^ -f- df^ -\- dz^.