ÉQUATION DU PLAN TAJNGEINT
277. Soit M (a:, j^, z) un point quelconque d'une surface représentée par l'équation
on peut, par ce points imaginer une infinité de courbes tracées sur la surface. Toutes les tangentes à ces courbes
menées par le point M sont contenues dans un même plan, que nous appellerons le plan tangent de la surface au point M.
En effet, soit
Téqualion d'une nouvelle surface passant par le point M.
L'intersection des surfaces (i) et ('^) est une courbe CMD, dont la tangente MT au point M est, d'après ce que nous avons vu dans la Leçon précédente, représentée par le système des deux équations
df dx
dy
dz
VIKGT-QUATRIÈME LEÇON. ajcV
Or l'éqiialîon (3), considérée isolément, représente un plan qui passe toujours par la tangente MT, quelle que soit cette tangente, puisque l'équation de ce plan ne dépend nullement delà fonction (f. Donc toutes les tangentes menées à la surface (i), par le point M, sont contenues dans le plan (3), qui est le plan tangent à la surface au point M,
ÉQUÀTlOriS DE LA KOUMALE.
278. La normale à la surface au point M est la perpendiculaire menée par ce point au plan tangent. Celte droite, passant par le point M (x^y^ z), aura deux équations de la forme
Pour déterminer a et i, remarquons que celte droite est perpendiculaire au plan tangent dont l'équation est
ce qui exige que Ton ait
dx ' dz dy' dz
De là il suit que les équations de la normale sont
équations que Ton peut mettre sous la forme
df "" df "~ df dx dy dz
Sturm. -
"An,, î.
279. On peut donner à Téquation du plan tangent et à celles de la normale une autre forme. En regardant z comme une fonction de x et de y^ appelons p eiq les dérivées partielles de z par rapport k x elky^ c'est-à-dire
posons
dz, dz
dx
dy
En différen liant Téqualion
successivement par rapport à x, puis par rapport àj^, on aura
-r- dx -^ =- rfZ = O , -T- «y H dz r= O;
dx dz dy dz
d'où l'on lire
'If .df q : — .
^ dy dz
Alors Téquation du plan tangent (a) pourra se mettre sous la forme
ou encore
(rf)
et les équations (i), qui représeutent la normale, deviendront par la substitution
X — a^-h/?(Z— zj 1= o, Y — j-4-7{Z — 3)=o.
280. Si Ton nomme «, ^, y les angles que la normale fait avec les axes, on aura
eosa= —
9 COSpr=— -
9 cosy =
VINGT-QUATRIÈME LEÇON. SjS
DEGRÉ DE l'équation DU PLAN TANGENT, PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES DU POINT DE CONTACT.
281 . L'équation du plan tangent peut se mettre sous la forme
fV df df„ df df df
dx dy dz dx dy dz
Si l'équation de la surface est algébrique et du degré /n,
jf ///* ///*
les dérivées — , — ? —sont des fonctions algébriques du dv dy dz
degré m — i . Le premier membre sera donc une fonction du degré m — i des coordonnées du point de contact. Quant au second membre, il semble être du degré m par rapport à ces coordonnées ; mais on peut le réduire au degré m — i, en tenant compte de l'équation de la surface.
En effet, soit
u représentant la somme des termes du degré m^ wj celle des termes du degré m — i , i/j celle des termes du degré m — 2, et ainsi de suite : on a
df du dui du, dx dx dx dx
df du dux dui
dy dy dy dy
df du dUi dui
jf — ^ I 1 ^ ' ^ ^
dz dz dz dz
Si l'on multiplie ces équations respectivement par x^^y et z, et qu'on ajoute les résultats, on aura
df df ^f^l ^'" ^" ^^"\
dx dy dz \ dx dy dz j
(dux ^ dUx dux\
dx~^ dy dz )
I du-i du^ duy\
a^fi COURS d'analyse.
ou , d'après une propriété des fonctions homogènes (nM78),
' 4f df df
dx df dz
z= mu + ( w — i) tt, 4- ( w — î>. ) «2 4- . . .
Mais le point (.r, jr^ z) étant sur la surface, on a
donc l'équation précédente devient
df df df
X — — \- y - — h2-r = — "i — 2 Wj — 3 «3 — .... ax dy dz
Il en résulte que Téquation du plan tangent se réduit à
df df df
-T- X-i-- -f- Y-4- -f Z + w, -H2ttj-f-3«3-+- . .. = o, dx dy dz
équation qui est du (m — ij«*'««" degré par rapport aux coordonnées du point de contact.
