PROBLEMES RELATIFS AU PLAN TANGEJNT

282. Mener par un point (a, b, c) un plan tangent à une surface. On aura, pour déterminer les coordonnées X, j^ z du point de contact, les deux équations

^if ^df df

^ dx dy dz

Comme on a trois inconnues, le problème est indéterminé, ce qu'il était facile de prévoir^ L'ensemble des équations (i) et (2J représente le lieu' des points de contact., Les droites qui joignent le point («, i, c) aux différents points de contact forment un cône circonscrit à la surface, dont on obtiendra l'équation en éliminant x^

VINGT-QUATRIÊMB LEÇON. ijj

jTj z entre les équations (i), (2) et les suivantes :

qui représentent Tune quelconque des génératrices.

Si la surface proposée est du deuxième degré, la courbe de contact sera plane, car Téquation (2), qui est satisfaite par les coordonnées des points de contact, est alors du premier degré, et représente un plan.

283. Mener un plan , tangent à une surface et. parai" lèle à une droite donnée. Soient

X=aZ, Y = bZ

les équations de la droite donnée : il faut qu'un plan mené par l'origine et parallèle au plan tangent, plan dont Téquation est

:^X-h^Y-h^Z=o dx dy iiz * .

contienne la droite, ce qui entraine la relation

ax ay dz

Cette équation représente une surface qui passe par tous les points de contact, et avec l'équation (1) elle constitue la courbe de contact du cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles à la droite donnée.

Si l'équation (i) est algébrique et du m'*"** degré, l'équation (4) sera du (m — i)*»»» degré. Donc la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à une surfaceT du second degré est plane.

On aura l'équation du cylindre circonscrit en éliminant X, y, z entre les équations (i), (4) et les suivantes .

X — x=za[Z — z), Y — yz=zb[2i — z),

qui représentent une droite parallèle à la direction donnée et passant par un point de la courbe de contact»

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