COURS ©ANALYSE

PLAN OSCULAÎEUR.

284. Soît CML une courbe quelconque dans l'espace. Soient M et M' deux points assez rapprocliés sur cette courbe. La tangente MT à la courbe au point M et le point M' déterminent un plan. On appelle /7/a7z osculaleur la limite du plan MTM', quand le point M' vient se confondre avec le point M.

On peut encore dire que le plan osculateur au point M

est le plan qui passe par le point M et par les deux points m et M' voisins du point M sur la courbe, quand ces deux derniers points viennent se confondre avec M. Cette définition s'accorde avec la première, puisque la ligne M/w tend à devenir tangente au point M lorsque les trois points se rapprochent.

285. Le plan osculateur de la courbe au point M, dont les coordonnées sont x^j^ z^ devant passer parce point, aura une équation de la forme

D'ailleurs les équations de la tangente sont

Comme cette droite doit être tout entière dans le plan osculateur, on doit avoir, quel que soit X ou (X . — x)^

A(X-.) + Bg(X

ax

OU bien

(3) kdx + 'Rdx -^Cdzz=zo.

Soient maintenant x ■+■ Ax, j H- Aj, z -j- Az les

VINGT-QUATRIÈME LEÇON. 2yÇ)

coordonnées du point M' : en substituant ces coordonnées dans l'équation (i) à la place de X, Y, Z, on aura

(4) AAx -h BAj -f- CA2 = o.

Or on peut considérer jr, j^, z comme des fonctions d'une certaine variable indépendante /, et si «, ê, y désignent des quantités qui s'évanouissent avec Af, on aura

Ax Z=: ixt -y -\ 4- a h

dt 1.2 \dt'

dy taO fd^Y *^ dt i.Q.\dl^ ]

dz Ar- l d^z \

^zz=^t -r- -^ ( -— - -4-7 )•

dt i.'2\dt'' ' /

Par suite l'équation (4) devient

, fdx Ar2 /d'x \1

^rdz M^ fdH xn

ou bien, à cause de Téquation (3), et en divisant les deux

membres par - Ai*,

A(-rT + al+B(— ^-f-6)+C(-^-f-7l— o.

iF^V^^x'dF-^'r- \d^'

A la limite, «, 6, y s'évanouissent, et alors, en multipliant les deux membres par dt*^ on a

(5) Ad^x-i-Bd'x-JrCdH=o,

équation qui, jointe à l'équation (3), servira à déterminer A B C C

les rapports -, -• Éliminant B entre ces deux équations,