o C01311S D ANALYSE
il vient
A idxd^y — dyd^x) 4- C [dzd^y — dyd^z) = o^
d'où Ton lire
A dyd'^z — dzd'^y
C dxd'^y — dyd'^x Ou aura de même
B dzd'^x — dxd^z C dxd^y — dyd^x
Uun des coefficients A, B, C étant arbitraire, je prendrai
C = dxd^y — dyd^x^
d'où
A = dyd'^z — dzd'^y, B = dzd^x — dxd^Zy et Ton aura enfin, pour équation du plan osculateur,
I(dyd^z — dzd^y) (X— .r) + [dzd^x—dxdH] (Y — j) + [dxd^y — dyd^x) [Z — z) =z o.
Voici un moyen mnémonique pour retrouver cette équation; on écrit les fractions
dx dy dz dx
et Ton retranche cbacune de ces fractions de la précédente : les numérateurs de ces différences sont respectivement les coefficients de Z — 2, X — x, Y — j,
AliGLES DU PLAN OSCULATEUR AVEC LES PLAP^S COOUDONNËS.
286. Soient X, ^ et v les angles que fait avec les axes Oj:, Oj", Oz, une perpendiculaire MP au plan osculateur, angles respectivement égaux à ceux que ce dernier plan forme avec les plans j^z, xz et xj. On a
(a) c<^sA = -5 cosfA= -9 cosv = --,
VlKGT-QUATrilEME LEÇON. aSl
en posant cî'csi-à-dîre
^"* ' \ 4- [dxd^y — dyd'xy.
287. La valeur de D' peut être mise sous d'autres formes : posons, pour abréger,
dx =pa, dy zzzby dz = Cy
d^x= «', dy = b\ dH = c' , on aura
D2= [bc'-^cb'Y-frica'—at^Y-^ {ab' ^ ba'Y, ou
D^= (fl^4- b^-hc^) (fl'«-t- b'^ -f- c'^) — (aa' -h ^>6' + ce')».
Or, en appelant ds la différentielle de l'arc qui aboutit au point M, on a
ds^z= dx* -^ dy^-^- dz^=z rt» -f- ^>-4-c»,
ce qui donne, en différenliant par rapport à la variable indépendante t^ et divisant par 2,
dsd^s = dxd^x -h dyd^y -h dzd'^z = aa'-f- ^6' -f- rr'; il vient donc
ou enfin
On peut encore écrire
L) n^ \i\i.sd'^x--dxd'sY-\" [dsdy—dyd^s)\-f- [dsd'^z — dzd'^sY. ce qu'on vérifie en développant, ou bien
W B = "-Vl^
ds
a8a COURS n analyse.
Dans toutes ces expressions la variable indépendante est
quelconque.
irORMALE PRINCIPALE.
288. On appelle normale principale celle qui est située dans le plan osculateur.
Cette droite doit être perpendiculaire à la tangente MT et à la normale MP. Or de l'identité
m-{thm=-
on déduit
. , f/x , dx dy ,dy dz . dz
^ ' d.f ds ds as ds ds
D'autre part, l'équation peut s'écrire ainsi ;
. » dx dr ^ , dz
(2 Ad--'^Bd-^'hCd--=o. .
^ ' ds ds ds
Les équations (i) et (a) montrent que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à
dx dy dz
ds ds ds
est perpendiculaire à la tangente MT et à la normale MP; c'est donc la droite cherchée.
Il résulte de là que les équations de la normale principale sopt (3) X-x^Y-r^Z-,^
,dx dy ^dz
ds ds ds
VINGT-QtlATniÈME LEÇON. 283
EXERCICES
i . Ufje courbe tracée sur la surface d'un cône droit a pour pro^ jection orthogonale y sur un plan perpendiculaire à Vaxe du cône y
une spirale logarithmique y /• = e"*^, dont ce sommet est le pôle. On demande les équations de la tangente à cette courbe et Véquation de son plan normal en un point donné. Prouver que cette courbe coupe toutes les arêtes du cône sous un angle constant.
Solution. — L'angle du cône étant a, la tangente à la courbe fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
/wcos9 — sinô /wsinG + cosô /wcota
Sin-'a
La tangente fait avec Tarête du cône un angle dont la cotangente est
L'équation du plan normal est
sina
(X — x) [mx — y) -f-(Y— ^) (/w/4-^) H- (Z — z)mz - o.
2. Une courbe est donnée par deux relations entre la distance r d^un quelconque de ses points M à un point fixe 0, V angle 0 que le rayon vecteur OM fait avec une droite fixe Ox, et l'angle y que le plan VLOx fait avec un plan fixe xOy : trouver la différentielle de son arc en fonction des quantités r, Q et <f et de leurs différentielles.
Solution.
ds = ^dr'-i- r'db'-i- r'sm'^hflf.
