Trouver r équation du lieu des normales à la surface

aY=x^b'-z') menées par tous les points de la droite

z= A', ajr=:x yjb^ — A% qr:i est tout entière sur la surface.

Solution. — Le paraboloïde hyperbolique

c/f [ax 'hX\/b'—/i') (x yjb^ - k" — ay) ^. Ui'^ ^ - X-^)» y/^^^T» (z - k) = o-

COURBURE DES LIGNES DANS L*ESPÀCE. - HÉUCE.

Courbure des lignes dans Fespace, — Cercle osculateur. — Rayon de torsion ou de seconde courbure. — Équation de Thélice. — Tangente. — Rayon et centre de courbure. — Lieu des centres de courbure. -^ Plan osculateur et angle de torsion.

COURBURE DES LIGNES DAIiS L ESPACE.

289. On nomme angle de contingence, dans une Fig. 58. courbe gauche, comme dans

une courbe plane, T angle (ù que font entre elles les deux tangentes menées aux extrémîtés d'un arc MM'= A5, qui devientinfinîmentpetit; et courbure au point M, la

limite vers laquelle tend le rapport —1 quand As diminue indéfiniment. Cette limite est représentée par—-

L'inverse de la courbure, ou — » est dit le rayon de cour^

bure au point M. Nous le désignerons par p.

290. Pour évaluer w, menons par le point O les droites ON et ON' égales à l'unité de longueur et respectivement parallèles aux tauffcntes MT et M'T'. Soient

dx , (ly

a=^-j-^ ^ = -7-' ils as

àz dx

les cosinus des angles que MT ou ON fait avec les axes, ou, ce qui revient au même, les coordonnées du point N;

soient a', &', c' les coordonnées du point N'. L'angle KON' sera égal à co, et Ton aura

NN'= 2 ON sin i- « = J{a' — aV-^ (1)'— bY-h [c' ^ c)\

ou, puisque ON = i,

2 sin - w r=: v/AtfM-AÏM^TÂc*.

En passant à la limite et remplaçant le sinus de l'angle - (ù par cet angle lui-même, on aura

d'où

Cl) I /ila"^

[2 db' dc^ on aura donc, en remplaçant a, i, c par leurs valeurs.

^('j);(-|)'-(-jj.

quelle que soit la variable indépendante.