La normale principale MN fait avec les axes des
^86 COURS o'awalyse.
anfi;les /, m,'/! dont les cosinus sont proportionnels à
. dx , dy . dz
ds ds ds
ds ds ds
on en conc
lut
dx ,dr dz
as ds as
cos / = û — -- 5 ces m =z 0 — — - 9 cos/i = o —-— •
* ds ' ds ' ds
Or les équations de la normale MN sont
X — jr = Rcos/, Y — j = Rcos/7/, Z — z=:Rcos/ï,
R étant la distance du point M à un point quelconque (X, Y, Z) de cette normale. On pourra donc, en remplaçant cos/, cos m, cos /i par les valeurs que nous venons de trouver, mettre ces équations sous la forme suivante :
/ X ,. ds „ „ ds ' ^ ds
(a X — a:zr=Rû-— , Y— j-i==Rp--— , Z — z=3Rp---.
^ ds ^ ds ^ ds
CERCLE OSCULATEUR.
293. Si, par le milieu de la corde MM', on mène un Fig- Sq- p'^^ perpendiculaire à ceue
corde et qui coupe la normale principale MN au point G, ce point sera le centre d'un cercle passant par les deux points M et M'. Si le point M' se rapproche V du point M, le plan NMM' ten-
dra à se confondre avec le plan osculateur TMN, et le cercle deviendra à la limite ce qu'on nomme le cercle osculateur à la courbe au point M.
Le rayon du cercle osculateur au point M est égal au rayon de courbure en ce point.
VINGT-CIINQUIÈME LEÇON. 287
En effet, Téquation du plan perpendiculaire mené à la corde MM' par son milieu est
-h A/ |z~3— -Azj =0,
(X — a:jAa:-f-(Y— j)Aj+{Z~z)A3=z-(Aa7--|-A7'H- Az^).
Si Ton élimine X — x*, Y — /, Z — z entre celte équation et celles de la normale (a), on aura
' dx dy^ (h \
« I ^^ ds ds \ i , ^ . .
Rp \ — -— Aj:H ;— Ar H ;— Az / = - (Ax» -|- A r* -h AzM;
^ ds ds ds / 2
• mais si l'on regarde x, j^ et z comme des fonctions de s,
on a
/ dx
dx A^' I ds
Ajrrrr Af — 1 \ ha / 9
ds 1 \ ds
dy às^ I ds
àX=^s^ H \ ~- hê I-
ds 2 \ ds
. dz tks"^ I ds
oLy S, y étant des quantités qui s'évanouissent avec A5.
Substituant ces valeurs dans Téquation précédente, et supprimant les termes qui contiennent As en facteur, termes dont la somme est nulle, on aura
\(d^^\ (dp: (d'ts, d'^ 1 ,^ ,^'
^ ( ds \ { ds 1 ( ds 1 ds 1 A.r^-hAr^-4-A3*
"p L\^/ A-df) A~J ^" nr^-] = — Â7 —
a88 COURS d'analyse.
el en passant à la limite,
FX 4; XlimR = i
ou
limR =p.
Ainsi le rayon du cercle osculafeur ait point M est égal au rayon de courbure en ce point. C'est pourquoi le point K, limite du point G, sera dit indifféremment le centre de courbure ou le centre du cercle osculateur,
294. On prouve d'une manière semblable que Tintersection de la normale principale MN avec le plan normal à la courbe passant par le point M'est encore, à la limite, le point K ou le centre de courbure.
En effet, Téquation de ce plan normal est
fdz dz\ ,„
En remplaçant X — j:, Y — y^ Z — -z: par leurs valeurs tirées des équations (a) de la normale principale,
,ri.v ^dy dz
/ % •«. ■«> ^^^ ,, -. ds ds
on aura
dt.. .. d±
ds ds J ds \ds ds J
ds /dz dz" — (— -l-A— ds \ds ds,
dx dy dz dx dy dz
= Aj:-7- -l-Ar-; — h As-— -|-Ajr A—- H- ArA-f- + AzA-p* ds ds ds ds ds ds
Cette équation se simplifie beaucoup au moyen des
remarques suivantes. D'abord on a .
clx dx dy dy ^^ t '^^
ds du ds ds ds ds
et il rcsie, en divisant par A^,
clx dx fiy dy ,dz dz\
cl— A— rf-f ^-f- d— t, , ds ds ds ds ds ds
Rp \ 1 1
^ ^ ds Ai ds As ds A.v
^x dx Ay dy Az dz Ax dx ^y dy Iz dz
=:= l__±jL i 1 A h — A-^-l A — •
S s ds Aj ds hsds As > ds As ds As ds
Si l'on observe que
df
la limite du premier membre sera - limR, D'ailleurs la limite du second membre est .
dxX'^ (dry [dzY
/ nz
\ds
On aura donc
- lim R =: I ou lim R = o,
ce qu'il fallait prouver.
295. D'après cela, on peut regarder le centre de courbure au point M comme étant l'intersection du plan osculateur en M avec deux plans normaux, l'un mené par le point M et l'autre par un point infiniment voisin.
Pour obtenir les coordonnées ^, vî et Ç du centre de courbure K, il faudra, dans les équations de la normale
